![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятностей и её свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и её свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •16. Равномерное и показательное распределение.
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29. Точечное оценивание.
- •33. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •1. Распределение (хи-квадрат).
- •Распределение Фишера.
- •34 Проверка статистических гипотез.
- •36. Критерий согласия Пирсона.
- •38. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •39.Сравнение средних двух нормальных выборок.
- •40. Дисперсионный анализ.
- •41. Парная регрессия.
- •42. Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •43. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.
- •44. Нелинейная парная регрессия
38. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
Рассмотрим несколько критериев однородности. Пусть имеется 2 выборки X и Y объемами n1 и n2 и пусть ставится задача сравнить их функции распределения.H0:F1(x)=F2(x)
Такого рода задания часто называют выявлением отклика на воздействия. Например, Наиболее хорошо разработанными являются методы выявления однородности для нормально распределенных выборок. Если выборки распределены нормально, то выявление однородности сводится к сравнению параметров а иσ. Эти методы называются параметрическими. Если о распределении изучаемых выборок ничего нельзя сказать, то применяются непараметрические методы, где не учитываются исходные количественные данные, а только уравнение <,>.
Пусть выборки X и Y распределены нормально с параметрами а1и σ1 ; а2 σ2соответсвенно.X~N(а1,σ 1), Y~N(а2,σ 2).
Гипотеза H0 будет справедлива, если будут равны параметры а1= а2; σ1=σ2
Сравним сначала дисперсии этих выборок H0: σ21=σ22
Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия.
Следующая гипотеза H0: S21=S22
Сравнение дисперсий всегда осуществляется путем вычисления их отношения. Можно показать, что при H0 эта случайная величина имеет распределение Фишера с k1 и k2 числом степеней свободы.
F=
~F(k1,k2)
Причем
k1=n1-1,
k2=n2-1,
S21>S22
Пусть H1: S21>S22, т.е. правосторонняя критическая область. Fk(Kкр)=1-α
Проверка H0 осуществляется следующим образом:
Вычисляется наблюдаемое значение критерия,
Выбирается уровень значимости αи по таблице критических точек распределения Фишера находят Fкр(α,k1,k2)
Если Fнабл> Fкр , то H0 отвергаем и принимаем конкурирующую.
2.
Пусть H1:
S21
S22
-. двусторонняя критическая область.
В этом случае поступают аналогично, только Fкр(α/2,k1,k2)
39.Сравнение средних двух нормальных выборок.
Критерий
Стьюдента.Пусть
имеется 2 выборки с объемами n1
и n2,
распределенные по нормальному закону.
X~N(а1,
1),
Y~N(а2,
2).
Проверим
гипотезу H0
о равенстве матожиданий.H0:a1=a2;
H0:a1
a2.
Несмещенной
состоятельной оценкой матожидания
является выборочная средняя. H0:
Поэтому H0 можно сформулировать, что средние равны.
Средние
сравниваются путем вычисления их
разности и построения случайных величин
T=
,
)
– ошибка разности средних.
В
данной задаче можно представить 4
случая:1.
и известны.2.
и известны.3.
и неизвестны.4.
и неизвестны.
T=
,
В этом случае случайная величина T имеет стандартное нормальное распределение.T~N(0,1)
T=
~N(0,1)
Тогда
проверка H0
осуществляется следующим образом:
вычисляются наблюдаемое значение
критерия, по таблице нормального
распределения находят Zкр(
).
Если |Tнабл|>
Zкр(
),
то H0
отвергаем и принимаем конкуренцию,
следовательно средние значения в
группах различаются равномерно (есть
отклик на воздействие).
Если
неизвестно, то вместо них нужно подставить оценки
=
Наблюдаемое
значение критерия T=
.
В
этом случае случайная величина T
имеет распределение Стьюдента с
(n1+n2-2)
числом степеней свободы. Tn~T(n1+n2-2).
Проверка гипотезы осуществляется с
использованием таблиц распределения
Стьюдента по выбранному уровню значимости
и числу степеней свободы (n1+n2-2).
T
кр(
,
n1+n2-2).
Если |Tн|>|Tкр|,
то H0
отвергаем
и принимает конкурирующую гипотезу,
следовательно средние в группах
различаются достоверно.Замечание 1.
Критерий Стьюдента применяется, когда
n>30.Замечание
2. Критерий Стьюдента является устойчивым
к нарушению нормального распределения
изучаемых выборок. В этом случае
необходимо только иметь запас уровня
значимости.Если бы мы могли отвергнуть
H0
при
=0.001,
то можно согласиться со след выводами
(есть отклик на воздействие).4.В этом
случае наблюдаемое значение критерия
вычисляется по той же ф-ле, что и в п 3,
однако точное распределение этой случ
вел-ны указать нельзя. Можно лишь
сказать, что при n1,
n2
эта
случ вел-на будет стремиться к распр-ию
Стьюдента с числом степеней свободы
K=
(
)2/
-