38. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.

Рассмотрим несколько критериев однородности. Пусть имеется 2 выборки X и Y объемами n₁ и n₂ и пусть ставится задача сравнить их функции распределения.H₀:F₁(x)=F₂(x)

Такого рода задания часто называют выявлением отклика на воздействия. Например, Наиболее хорошо разработанными являются методы выявления однородности для нормально распределенных выборок. Если выборки распределены нормально, то выявление однородности сводится к сравнению параметров а иσ. Эти методы называются параметрическими. Если о распределении изучаемых выборок ничего нельзя сказать, то применяются непараметрические методы, где не учитываются исходные количественные данные, а только уравнение <,>.

Пусть выборки X и Y распределены нормально с параметрами а₁и σ₁ ; а₂ σ₂соответсвенно.X~N(а₁,σ ₁), Y~N(а₂,σ ₂).

Гипотеза H₀ будет справедлива, если будут равны параметры а₁= а₂; σ₁=σ₂

Сравним сначала дисперсии этих выборок H₀: σ²₁=σ²₂

Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия.

Следующая гипотеза H₀: S²₁=S²₂

Сравнение дисперсий всегда осуществляется путем вычисления их отношения. Можно показать, что при H₀ эта случайная величина имеет распределение Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

F= ~F(k₁,k₂) Причем k₁=n₁-1, k₂=n₂-1, S²_1>S²₂

Пусть H1: S²_1>S²₂, т.е. правосторонняя критическая область. F_k(K_кр)=1-α

Проверка H₀ осуществляется следующим образом:

Вычисляется наблюдаемое значение критерия,

Выбирается уровень значимости αи по таблице критических точек распределения Фишера находят F_кр(α,k₁,k₂)

Если F_набл> F_{кр ,} то H₀ отвергаем и принимаем конкурирующую.

2. Пусть H1: S²₁ S²₂ -. двусторонняя критическая область.

В этом случае поступают аналогично, только F_кр(α/2,k₁,k₂)

39.Сравнение средних двух нормальных выборок.

Критерий Стьюдента.Пусть имеется 2 выборки с объемами n₁ и n₂, распределенные по нормальному закону. X~N(а₁, ₁), Y~N(а₂, ₂).

Проверим гипотезу H₀ о равенстве матожиданий.H₀:a₁=a₂; H₀:a₁ a_2. Несмещенной состоятельной оценкой матожидания является выборочная средняя. H₀:

Поэтому H₀ можно сформулировать, что средние равны.

Средние сравниваются путем вычисления их разности и построения случайных величин T= , ) – ошибка разности средних.

В данной задаче можно представить 4 случая:1. и известны.2. и известны.3. и неизвестны.4. и неизвестны.

1. T= ,

В этом случае случайная величина T имеет стандартное нормальное распределение.T~N(0,1)

2. T= ~N(0,1)

Тогда проверка H₀ осуществляется следующим образом: вычисляются наблюдаемое значение критерия, по таблице нормального распределения находят Zкр( ). Если |Tнабл|> Zкр( ), то H0 отвергаем и принимаем конкуренцию, следовательно средние значения в группах различаются равномерно (есть отклик на воздействие).

3. Если неизвестно, то вместо них нужно подставить оценки

=

Наблюдаемое значение критерия T= .

В этом случае случайная величина T имеет распределение Стьюдента с (n₁+n₂-2) числом степеней свободы. T_n~T(n₁+n₂-2). Проверка гипотезы осуществляется с использованием таблиц распределения Стьюдента по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (n₁+n₂-2). T кр( , n₁+n₂-2). Если |Tн|>|Tкр|, то H₀ отвергаем и принимает конкурирующую гипотезу, следовательно средние в группах различаются достоверно.Замечание 1. Критерий Стьюдента применяется, когда n>30.Замечание 2. Критерий Стьюдента является устойчивым к нарушению нормального распределения изучаемых выборок. В этом случае необходимо только иметь запас уровня значимости.Если бы мы могли отвергнуть H₀ при =0.001, то можно согласиться со след выводами (есть отклик на воздействие).4.В этом случае наблюдаемое значение критерия вычисляется по той же ф-ле, что и в п 3, однако точное распределение этой случ вел-ны указать нельзя. Можно лишь сказать, что при n₁, n₂ эта случ вел-на будет стремиться к распр-ию Стьюдента с числом степеней свободы

K= ( )²/ -