29. Точечное оценивание.

Пусть вид распределения изучаемого признака Х известен , но неизвестно значение входящего параметра (тета).

Ф-цию называют выборочной ф-цией или статистической, а ее значение в приближенном равенстве – оценкой.

Оценка параметров подразделяются на точечные и интервальные.

Точечной оценкой называется оценка, которая дается одним числом.

Для того, чтобы статистическая оценка давала хорошее приближение оцениваемому параметру , она должна обладать определенными несмещенность, состоятельность, эффективность.

Оценка называется несмещенной, если ее мат. ожидание равно оцениваемому параметру .

Это свойство означает отсутствие ошибки одного знака.

Примером несмещенной оценки является выборочное среднее для мат. ожидания â=х_в

Примером смещенной оценки является выборочная дисперсия для теоретической дисперсии.

Оценка параметра называется состоятельной, если для любого

Состоятельность оценки означает, что при большом объеме выборки оценка приближается к истинному значению параметра (чем больше n, тем точнее оценка).

Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном объеме выборки могут отличатся дисперсиями.

Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность ошибки при вычислении . Поэтому целесообразно, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

32.Доверительные интервалы.

Оценка неизвестного параметра, которая задается 2 числами (концами интервала) называется интервальной.

Пусть по выборки получена точечная оценка θ (с верху крышку написать), неизвестного параметра θ. Это оценка тем точнее, чем меньше │ θ - θ │ (с крышкой)l.

Методы математической статистики не позволяют наверняка утверждать, что выполняется неравенство l θ - θ (с крышкой)l<δ, где δ>0.

Можно лишь говорить о вероятности его выполнения: Р(l θ - θ (с крышкой)l)<δ=γ.

Величина γ называется доверительной вероятностью или надежностью. В качестве γ берут число, близкое к единице: 0,98,0,99, 0,995.

Оно выбирается исследователем самостоятельно. Раскрыв знак модуля, получим определение доверительного интервала: P(θ (с крышкой) < θ < θ (с крышкой) +γ).

Доверительным называется интервал (θ (с крышкой) - δ;θ (с крышкой)+δ), который покрывает параметр θ с заданной надежностью γ. При этом δ называется точностью оценки.

Замечание: неверно говорить, что θ попадет в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе неизвестный параметр θ.

Для того, чтобы построить доверительный интервал, необходимо знать закон распределения оценки θ (с крышкой)= θ (с крышкой)(х1,х2,…,хn) как функция отборки (х1, х2, …,хn). Затем поступают следующим образом:

1).вычисляют точечную оценку θ (с крышкой)

2)выбирают надежность γ

3)вычисляют точность оценки δ.