Пример:

Игра 4 х 4 со смешанной стратегией

Задача решена методом линейного программирования с помощью программы «Поиск решения» Microsoft EXCEL.

Исходные данные:

	1	2	3	4
1	-5	9	6	1
2	-3	3	-6	-2
3	4	0	7	4
4	-10	6	1	5

Преобразование матрицы платежей.

Введем константу С  –min(a_i,j)=10.

После преобразования матрицы определим оптимальную стратегию игрока А:

	1	2	3	4	х
1	5	19	16	11	0,019	р1	0,222
2	7	13	4	8	0	р2	0
3	14	10	17	14	0,065	р3	0,778
4	0	16	11	15	0	р4	0
Сумпр	1	1	1,398	1,111		W*	12
				Ц.Ф.	0,083	W	2

1. x_i=0, 1≤i≤n.

2. Сумма произведений , 1≤j≤m.

3. Ц.Ф. .

4. Поиск решения: Ц.Ф. – L , изменяемые параметры – x_i, 1≤i≤n, симплексный метод.

5. W^*=1/L, р_i= W^* х_i, W= W^*–C.

Определение оптимальной стратегии игрока В:

	1	2	3	4	Сумпр
1	5	19	16	11	1
2	7	13	4	8	0,833
3	14	10	17	14	1
4	0	16	11	15	0,667	ц ф
у	0,042	0,042	0	0		0,083
	q1	q2	q3	q4	W*	W
	0,5	0,5	0	0	12	2

Для игрока В задача решается аналогично.

Как и следовало ожидать, цена игры для обоих игроков совпадает W=2.

Сходимость игры

Для оценки сходимости игры вычисляется ее дисперсия и среднее квадратическое отклонение

_{Матрица вероятностей стратегий piqj}

		q1	q2	q3	q4
		0,500	0,500	0,000	0,000
р1	0,222	0,111	0,111	0,000	0,000
р2	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
р3	0,778	0,389	0,389	0,000	0,000
р4	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000

^{Матрица квадратов отклонений (аij – W)2}

49	49	16	1
25	1	64	16
4	4	25	4
144	16	1	9

Дисперсия равна

. (17)

Среднее квадратическое отклонение

. (18)

Среднее квадратическое отклонение среднего значения n игр

. (19)

На рисунке представлены границы, построенные по принципу двух сигм, при 5≤ n ≤ 1000 примерно соответствующие вероятности 0,96. Ось абсцисс строится в логарифмическом масштабе.

Рис. Зависимость границ области сходимости средних результатов игры

ИГРА n x m

со смешанной стратегией

a_ij

З адана игра 4 х 4 в виде матрицы платежей

Определить оптимальную стратегию игрока А: р₁, р₂, р₃, р₄,

и игрока В: q₁, q₂, q₃, q₄, а также цену игры W. Ответы значений W приведены

Задача решается методом линейного программирования.

Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	-7	5	-7	-10		1	9	-3	6	-1		1	-1	8	-5	4
2	-4	6	-5	-1		2	0	6	6	-6		2	6	5	9	2
3	-1	0	7	7		3	-9	6	-1	7		3	6	8	3	2
4	-9	5	-2	6		4	3	-8	-5	-5		4	7	0	5	0

W=0,545 W=1,35 W=1,575

Вариант № 4 Вариант № 5 Вариант № 6

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	8	-1	-5	5		1	7	0	5	0		1	-1	-3	4	-2
2	-9	3	-3	5		2	-9	8	6	3		2	-5	-5	7	6
3	2	2	-8	0		3	8	3	2	-7		3	3	8	-1	6
4	-6	8	8	1		4	-5	8	-2	-6		4	7	4	8	0

W=1,259 W=1,105 W=1,6

Вариант № 7 Вариант № 8 Вариант №9

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	-4	0	-5	2		1	5	-7	10	-1		1	-5	9	10	7
2	-3	4	-7	6		2	8	2	-4	7		2	8	1	3	2
3	-7	4	-1	1		3	-4	5	4	3		3	-8	-7	-7	10
4	0	-3	2	-5		4	1	2	2	3		4	-5	-1	-6	-2

W=-1,13 W=1,952 W=1,667

Вариант №10 Вариант №11 Вариант №12

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	8	-10	-1	0		1	4	5	7	6		1	-9	9	5	-1
2	5	-8	0	-8		2	0	-2	3	-5		2	-7	5	-6	9
3	-3	-6	-8	0		3	-9	3	-3	8		3	-6	-4	5	-8
4	3	-4	-4	4		4	-5	-5	-1	4		4	1	8	-10	1

W=-1,6 W=-1,34 W=-2,7

Вариант № 13 Вариант № 14 Вариант №15

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	-1	7	-9	-10		1	-10	2	-5	-5		1	-10	9	9	1
2	-6	-10	-3	8		2	6	6	-8	-3		2	-10	0	7	6
3	5	-7	5	-2		3	-3	-8	-1	8		3	3	-5	9	7
4	4	-3	-7	-6		4	0	5	0	-7		4	-1	-2	-2	-5

W=-2,44 W=-0,85 W=-0,85

Вариант №16 Вариант № 17 Вариант №18

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	-7	8	0	0		1	-6	-2	9	-4		1	-7	-6	-8	9
2	-3	9	-8	2		2	5	0	-1	9		2	0	-9	-1	5
3	-1	10	-9	-6		3	4	-10	6	5		3	2	0	-7	-4
4	9	0	5	8		4	8	7	1	-9		4	7	-2	6	-3

W=2,032 W=1,518 W=-1,7

Вариант №19 Вариант №20 Вариант №21

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	4	-3	-4	-5		1	1	1	-4	-8		1	1	1	-4	-8
2	-5	1	-5	-5		2	-9	8	-3	1		2	-9	8	-3	1
3	-2	-9	7	-5		3	-8	-4	-8	8		3	-8	-4	-8	8
4	-3	-2	-4	-6		4	9	-7	9	5		4	9	-7	9	5

W=-2,15 W=0,445 W=1,445

Вариант № 22 Вариант № 23 Вариант №24

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	-9	10	-2	-7		1	7	-6	3	7		1	4	-6	-1	0
2	-2	-9	2	-5		2	6	-3	-4	0		2	5	8	5	8
3	-2	9	3	8		3	4	9	-9	-4		3	5	2	5	0
4	10	0	-3	-8		4	-6	1	-5	-2		4	6	2	6	-6

W=1,333 W=-1,0 W=2,2

Вариант № 25 Вариант №26 Вариант №27

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	1	2	-3	7		1	5	-8	-7	2		1	7	-8	-5	6
2	4	2	2	-1		2	1	-9	6	-1		2	1	-6	10	-9
3	-7	5	2	2		3	-7	9	-7	-9		3	9	-8	1	-6
4	-7	-5	-1	1		4	9	-8	5	-9		4	-9	3	1	6

W=1,094 W=-2,67 W=-1,55

Вариант № 28 Вариант № 29 Вариант №30

	1	2	3	4			1	2	3	4			1	2	3	4
1	8	5	-2	-2		1	-6	6	4	-10		1	-5	9	6	1
2	7	9	-3	-8		2	3	2	6	9		2	-3	3	-6	-2
3	-7	5	-9	-2		3	6	-1	-6	-1		3	4	0	7	4
4	6	3	8	7		4	-7	8	4	-4		4	-10	6	1	5

W=2,143 W=2,375 W=2,0

Игра 2 х 2

Задана матрица А платежей для игрока А. Найти графически и аналитически оптимальные стратегии для игроков А и В, а также цену игры.

1) 2, -2 2) -1, 5 3) 11, -1

А= ; А= ; А= ;

-3, 5 4, -5 1, 4

4) -10, -1 5) 4, -11 6) 3, 0

А= ; А= ; А= ;

4, -5 -6, 4 -2, 10

7) -3, 2 8) -2, 5 9) 6, 1

А= ; А= ; А= ;

2, -8 6, 1 3, 4

10) 9, 1 11) -5, -2 12) -1, 6

A= ; A= ; A= ;

5 7 2, -4 2, -3

13) 3, 5 14) -6, -4 15) 2, 9

A= ; A= ; A= ;

8 4 -1, -7 6, 5

16) -1, -2 17) -3, 7 18) 2, -1

A= ; A= ; A= ;

-4 1 7, -8 -6, 6

19) 9, 2 20) -1, 3 21) 7, -5

A= ; A= ; A= ;

4, 7 2, -6 4, 10

22) 1, -5 23) -2, 1 24) -9, 8

A= ; A= ; A= ;

-8, 6 2, -5 6, -2

25) 1, -7 26) 8, -7 27) 5, 2

A= ; A= ; A= ;

-9, -5 2, 5 1, 4

28) 10, 1 29) -2, 8 30) -1, 7

A= ; A= ; A= .

2, 8 5, 0 2, 2

ОТВЕТЫ (игра 2х2).

№ варианта	Вероятности для оптимальных стратегий				Цена игры W
	P1	P2	Q1	Q2
1	8/12	4/12	7/12	5/12	4/12
2	9/15	6/15	10/15	5/15	1
3	3/15	12/15	5/15	10/15	3
4	9/18	9/18	4/18	14/18	-3
5	0,4	0,6	0,6	0,4	-2
6	12/15	3/15	10/15	5/15	2
7	10/15	5/15	10/15	5/15	-20/15
8	5/12	7/12	4/12	8/12	-32/12
9	1/6	5/6	0,5	0,5	3,5
10	0,2	0,8	0,6	0,4	5,8
11	6/9	3/9	2/9	7/9	-24/9
12	5/12	7/12	9/12	3/12	9/12
13	4/6	2/6	1/6	5/6	28/6
14	6/8	2/8	3/8	5/8	-38/8
15	1/8	7/8	4/8	4/8	44/8
16	5/6	1/6	0,5	0,5	-1,5
17	0,6	0,4	0,6	0,4	1
18	12/15	3/15	7/15	8/15	6/15
19	0,3	0,7	0,5	0,5	5,5
20	8/12	4/12	9/12	3/12	0
21	6/18	12/18	15/18	3/18	5
22	14/20	6/20	11/20	9/20	-34/20
23	0,7	0,3	0,6	0,4	-0,8
24	8/25	17/25	10/25	15/25	30/25
25	4/12	8/12	2/12	10/12	-68/12
26	3/18	15/18	12/18	6/18	3
27	0,5	0,5	2/6	4/6	3
28	6/15	9/15	7/15	8/15	78/15
29	5/15	10/15	8/15	7/15	40/15
30	4/12	8/12	9/12	3/12	1