Игра nm со смешанной стратегией, решение симплексным методом

Задана матрица платежей А=|a_i,j| 1 i  n, 1 jm.

Требуется найти оптимальное решение игры для игроков А и В: Р=|р_i| и Q=|q_j|

, . (10)

Преобразование матрицы платежей

Если в матрице платежей есть отрицательные платежи, все платежи увеличим на некоторую константу С  –min(a_i,j). Тогда цена игры тоже увеличится на эту константу W^*= W+С, при этом все платежи и цена игры станут положительными величинами.

Пусть А применяет оптимальную стратегию, а В чистую стратегию j, тогда выигрыш игрока А составляет

a_j= р₁ a_1,j+ р₂ a_{2, j} +…+ р_n a_n,j. (11)

Оптимальная стратегия обладает тем свойством, что выигрыш не меньше, чем цена игры

р₁ a_1,1+ р₂ a_2,1 +…+ р_n a_n,1  W^*,

р₁ a_1,2+ р₂ a_2,2 +…+ р_n a_n,2  W^*, (12)

. . .

р₁ a_1,m+ р₂ a_{2, m} +…+ р_n a_n,m  W^*.

Введем обозначения х_i=р_i/ W^* .

Тогда систему неравенств (13) можно записать в следующем виде

a_1,1x₁ + a_2,1 x₂ +…+ a_n,1 x_n  1,

a_1,2x₁ + a_2,2 x₂ +…+ a_n,2 x_n  1, (13)

. . .

a_1,m x₁ + a_2,m x₂ +…+ a_n,m x_n  1,

где х_i  0, 1 i  n,

х₁ + х₂ +…+ х_n = 1/ W^* .

Теперь задачу максимизации выигрыша игрока А (Wmax и W^*max) можно сформулировать следующим образом:

L= х₁ + х₂ +…+ х_n= 1/ W^* min. (14)

Мы свели задачу нахождения оптимальной стратегии игрока А к задаче линейного программирования, в которой L – целевая функция (14) и ОДР –неравенства (13).

Для игрока В задача формулируется как двойственная игре игрока А

a1,1	a1,2	…	a1,m	р1
a2,1	a2,2	…	a2, m	р2
…	…	…	…	…
an,1	an,2	…	an,m	рn
q1	q2	…	qm

Введем обозначения у_j= q_j/ W^*.

ОДР (15) составляется по столбцам и вместо  1 ставим 1.

a_1,1у₁ + a_{2, 1} у₂ +…+ a_m,1 у_m  1,

a_2,1 у₁ + a_2,2 у₂ +…+ a_m,2 у_m  1, (15)

. . .

a_n,1 у₁ + a_n,2 у₂ +…+ a_n,m у_m  1,

где у_i  0, 1 j  m,

y₁ + y₂ +…+ y_m = 1/ W^* .

Целевая функция

L = у₁ + у₂ +…+ у_m = 1/ W^*max (16)