Теория игр Основные понятия

Рассматривается игра двух соперников с нулевой суммой, т.е. без посредников, выигрыш одного из игроков составляет проигрыш другого. Игра задается матрицей платежей игрока А:

А=|a_i_,_j|, 1 i  n, 1 jm, (1)

где a_i_,_j – выигрыш игрока А и проигрыш игрока В, если игрок А использует свою i-ю стратегию, а игрок В – свою j-ю стратегию,

n – число стратегий игрока А,

m – число стратегий игрока В.

Аналогично может быть задана матрица платежей игрока В

B=|b_i_,_j|, 1 i  n, 1 jm, (2)

где b_i_,_j = –a_i_,_j.

Игрок А стремится максимизировать свой выигрыш при самой неблагоприятной для него стратегии игрока В, т.е. оптимальной для него стратегией является стратегия «максимин»:

. (3)

Игрок В стремится минимизировать свой проигрыш при самой неблагоприятной для него стратегии игрока А, т.е оптимальной для него стратегией является стратегия «минимакс»:

. (4)

В общем случае цена игры W, W_A – нижняя, а W_B – верхняя цена игры

W_A W W_B. (5)

Если W_A= W_B, игра называется с простой стратегией или с седловой точкой.

Пример:

Матрица А платежей для игрока А:

	1	2	3	4	5	min
1	2	6	-4	2	-8	-8
2	-7	-1	-5	1	6	-7
3	5	-9	-6	8	-1	-9
4	8	6	-3	0	5	-3
max	8	6	-3	8	6

Цена игры W=min max{a_ij}= max min{a_ij}= -3.

Так как W<0, игра выгодна для игрока B.

Игра 22 со смешанной стратегией, графический метод

При отсутствии седловой точки игрокам приходится использовать различные смешанные стратегии, и оптимизация состоит в определении оптимальных вероятностей или частот использования своих чистых или простых стратегий.

, (6)

где p_i – вероятность i-й чистой стратегии игрока А,

q_j – вероятность j -й чистой стратегии игрока В.

Оптимальная стратегия игрока А:

. (7)

Оптимальная стратегия игрока В:

. (8)

Цена игры – математическое ожидание выигрыша игрока А

. (9)

Если оба игрока имеют только по две стратегии, то задача легко решается как графически, так и аналитически; графическое решение очень наглядное и позволяет лучше уяснить общий алгоритм решения.

, р₂=1–р₁; , q₂=1–q₁.