БИЛЕТ 1 (1, 21, 41)
1.Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно
используется одно из следующих
обозначений:
,
,
,
или
(обозначение Дирака,
часто применяемое в квантовой
механике для
векторов состояния):
.
Обычно
предполагается что скалярное произведение
положительно определено, то есть
для
всех 
.
Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.
Скалярным
произведением в векторном
пространстве 
над
полем 
называется
функция 
для
элементов 
,
принимающая значения в
,
определенная для каждой пары элементов
и удовлетворяющая следующим условиям:
для любых трех элементов
и 
пространства
и
любых чисел 
справедливо
равенство 
(линейность
скалярного произведения по первому
аргументу);для любых
и
справедливо
равенство 
,
где черта означает комплексное сопряжение
(эрмитова симметричность);для любого имеем
,
причем 
только
при 
(положительная
определенность скалярного произведения).
Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.
Заметим,
что из п.2 определения следует,
что 
действительное.
Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на
комплексные (в общем случае)
значения скалярного
произведения.
Элементарное определение
A • B = |A| |B| cos(θ)
Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:
Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже).
Связанные определения
В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:
Длина вектора, под которой понимается уже упомянутая выше его евклидова норма:
(термин
'длина' обычно применяется к конечномерным
векторам, однако в случае вычисления
длины криволинейного пути часто
используется и в случае бесконечномерных
пространств).Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
В
случае, если пространство
является псевдоевклидовым,
понятие угла определяется лишь для
векторов, не содержащих изотропных
прямых внутри образованного векторами
сектора. Сам угол при этом вводится как
число, гиперболический
косинус которого
равен отношению модуля скалярного
произведения этих векторов к произведению
их длин (норм):
Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называетсяпсевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.
Применение
Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.
Широко известны следующие применения:
Любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью.
Например, теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:
Угол между векторами:
Оценка угла между векторами:
в формуле знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.
Проекция вектора
на
направление, определяемое единичным
вектором 
:
,
условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторов и
:
итд.
(При этом технические возможности вычислений со скалярными произведениями, как и вообще с векторами, значительно возрастают, если использовать — при желании или необходимости — и компонентное представление векторов вкупе с компонентным выражением скалярного произведения).
Площадь также выражается через скалярное произведение, например, двумерная площадь параллелограмма, натянутого на два вектора и , равна
Аналогичные вычисления в геометризованных теориях в физике (таких, как СТО или ОТО).
Разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике).
В том числе, в бесконечномерном случае: ряды Фурье, преобразования Фурье.
В векторном анализе — вычисление контурных интегралов, потоков, применение с оператором набла.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
21 Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраныили струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме(электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн.
В общем случае волновое уравнение записывается в виде
,
где 
— оператор
Лапласа, 
—
неизвестная функция, 
—
время, 
—
пространственная переменная, 
— фазовая
скорость.
В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны и записывается в виде
.
Оператор д’Аламбера
Разность 
называется оператором
Д’Аламбера (разные
источники используют разный знак). Таким
образом, волновое уравнение записывается
как: 
Неоднородное уравнение
Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение
,
где 
—
некая заданная функция внешнего
воздействия (внешней силы).
Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).
Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой
или 
.
Волновое уравнение для среды с вязкостью
При наличии динамической вязкости среды, описываемой выражением
где 
–
элемент силы вязкости; 
–
динамический коэффициент вязкости; 
–
изменение скорости в окрестности
исследуемой точки; 
–
элемент поверхности.
Волновое уравнение при распространении волны в объёме имеет вид
где 
–
упругое напряжение; 
–
плотность среды.
На больших расстояниях от источника при малых амплитудах волнового процесса, данное уравнение можно упростить, пренебрегая вторым слагаемым в правой части. При этом уравнение интегрируемо в аналитическом виде [1]
Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:
и является частным случаем уравнения Гельмгольца.
Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:
Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.
С помощью дифференциального оператора
— (оператора
Лапласа) —
это уравнение записывается (для любой
размерности) одинаково как 
В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).
Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнениеЛапласа называется уравнением Пуассона.
Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".
41 Принцип Гюйгенса — Френеля — основной постулат волновой теории, описывающий и объясняющий механизм распространения волн, в частности, световых.
Принцип Гюйгенса — Френеля является развитием принципа, который ввёл Христиан Гюйгенс в 1678 году: каждая точка поверхности, достигнутая световой волной, является вторичным источником световых волн. Огибающая вторичных волн становится фронтом волны в следующий момент времени. Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. Огюстен Жан Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса — Френеля и дифракционные явления.
Принцип Гюйгенса — Френеля формулируется следующим образом: Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать, как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн. Густав Кирхгоф придал принципу Гюйгенса — Френеля строгий математический вид, показав, что его можно считать приближенной формой теоремы, называемой интегральной теоремой Кирхгофа Фронтом волны точечного источника в однородном пространстве является сфера. Амплитуда возмущения во всех точках сферического фронта волны, распространяющейся от точечного источника, одинакова. Дальнейшим обобщением и развитием принципа Гюйгенса — Френеля является формулировка через интегралы по траекториям, служащая основой современной квантовой механики.
БИЛЕТ 2 (2, 22, 42)
2 Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A ) называется противоположным вектору АВ . Вектор, противоположный вектору а , обозначается -а .
Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем
Векторные поля в трёхмерном пространстве
Если 
— радиус-вектор,
который в заданной системе координат
имеет вид 
,
то векторное поле описывается вектор-функцией вида:
В трёхмерном пространстве имеют смысл следующие характеристики векторного поля