7.Аксиоматическая система в исчислении высказываний

Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

А1: A-> (B ->A);

A2: ((A-> (B ->C)) -> ((A->B) -> (A->C)));

A3: A/\ B ->A;

A4: A/\ B ->B;

A5: A -> (B -> (A /\ B));

A6: A -> (A\/ B);

A7: B -> (A\/ B);

A8: (A->C) -> ((B-> C) -> ((A \/ B) -> C));

A9: -A -> (A->B);

A10: (A ->B) -> ((A-> -B) -> -A);

A11: A \/ -A.

вместе с единственным правилом:

A->B,A

---------

B

(Modus ponens)

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

8.Равносильные формулы

Определение. Пусть f и g — две формулы, а A1,...,Ап — все высказывательные переменные, входящие в запись хотя бы одной из этих формул. Общей логической возможностью формул f и g называется всякий набор конкретных значений истинности для высказывательных пе¬ременных A1,...,Ап .

Можно определить понятие общей логической возможности для лю¬бого конечного числа формул.

Определение. Две формулы f и g называются равносильными: f=g, если во всякой общей для f u g логической возможности f и g принимают одинаковые значения т.е. таблицы истинности одинаковы.

9.Алгебра Буля

Представим теорию, которая имеет переменные, формулы, построенные из атомарных формул (переменных) с помощью трех операций |-|, |_|, ~ - аналогов логических связок &, V, отрицание и аналогов 1, 0 двух истинных значений Т, _|_. Если формулы равносильности при замене в них &, V, отрицание, Т, _|_ на |-|, |_|, ~, 1, 0 остаются справедливыми, то мы имеем новую абстрактную алгебру, называемую алгеброй Буля.

Таким образом, алгебра высказываний – это пример алгебры Буля, обязанной своим происхождением логике Аристотеля.

Алгебра высказываний – это логическая булева алгебра. Существуют и не логические булевы алгебры. Примером является теория множеств Кантора.

10.Истинные и общезначимые формулы

Формула A{X1,...,Xn) называется истинной (выполнимой), если существует набор значений переменных Х10, Хnо такой, что A{X1o,Хnо) = T.

Формула A{X1, ...,Хn) называется общезначимой, если при любом наборе переменных она истинна. Для общезначимой формулы используется символическая запись |= A.

11.Проблема разрешимости

Пусть дана произвольная формула A(X1,…,Хn). Можно ли как-то проверить, что она является общезначимой? Если существует такой способ (алгоритм), позволяющий в конечное число шагов убедиться в этом, то говорят, что проблема проверки общезначимости формул алгебры высказываний разрешима.

Теорема 1.3. Проблема разрешимости в алгебре высказываний имеет положительное решение.

Доказательство. Рассматривая набор переменных (X1,…,Хn) на множестве { _|_, Т}, имеем 2 в степени n возможных комбинаций. Для каждой комбинации легко вычислить истинностное значение формулы А. Это можно сделать, написав программу для компьютера. Найдя все значения формулы, мы узнаем всегда ли она истинна. Если «да», то формула А общезначима.

Теорема 1.3 доказана.

Легко понять, что на практике проверить тождественную истинность формулы бывает очень сложно, если она имеет большое число переменных. На вычисление истинностных значений формулы может потребоваться слишком много машинного времени.