4.Функции алгебры высказываний (булевы функции)

Любую формулу алгебры логики можно рассматривать как функцию, определенную на множестве B={1, 0}, где 1 соответствует значению “И”, а 0 – значению “Л”.

Булева функция (или логическая функция, или функция алгебры логики) от n переменных отображение Bn -> B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества 1 и 0 обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно».

Логическую функцию n переменных f(x1,x2,...,xn) можно задать таблицей, в левой части которой перечислены все 2n наборов значений переменных, а в правой части - значения функции на этих наборах. Такие таблицы носят название таблиц истинности.

Множество всех булевых функций от любого числа переменных часто обозначается P2, а от n переменных — P2(n).

Конъюнктивная нормальная форма1 (КНФ) определяется двойственно к ДНФ. Простой дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза. КНФ — это конъюнкция простых дизъюнкций.Кнф- произведение элементарных сумм. ДНФ- сумма элементарных произведений.

5.Метод синтеза релейно-контактных схем

Одно из применений алгебры высказываний - анализ и синтез релейно-контактных схем. Каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры высказываний, и каждая формула алгебры высказываний реализуется с помощью некоторой схемы. Таким образом, всякую булеву формулу можно трактовать как некоторую последовательно-параллельную схему от 2-х-полюсных переключателей. Все свойства булевых операций переносятся на соответствующие операции над переключателями. Формула, которую можно составить для каждой схемы называется функцией проводимости схемы, а таблица значений - условиями работы схемы. Две схемы называются равносильными, если имеют одинаковые функции проводимости. Анализ схемы заключается в следующем: для данной схемы составляется функция проводимости, которая на основании законов булевых функций упрощается и для нее строится новая, более простая схема, которая обладает теми же электрическими свойствами. Синтез схем заключается в построении схем с заданными электрическими свойствами. На основании заданных электрических свойств строится таблица условий работы схемы и затем функция проводимости, представляющая собой СДНФ, а по ней строится схема.

6.Приложение в теории множеств

Множеством называют вполне определенную совокупность различаемых объектов. Например, множество «всех книг данной библиотеки» или множество «всех людей, живших в ХХ веке». Имеются два способа задания множеств: путем явного перечисления его элементов или указанием свойства определяющего принадлежность элемента данному множеству.

Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Широкое применение теория множеств и комбинаторика получили при исследовании так называемой проблемы оптимизации, возникающей при конструировании больших систем, как технических, так и программных.

Аксиоматическая теория множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора.