Вопрос 18-19, 21-26 , 28 Понятие числового ряда

Пусть числа   члены некоторой бесконечной числовой последовательности. Тогда выражение вида 

   (1)

называется числовым рядом. Здесь   общий член ряда

Рассмотрим для числового ряда (1) суммы его первых членов:

Будем называть их частичными суммами и обозначим соответственно   (2)

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) имеет конечный предел. Этот предел   называется суммой ряда.

Сумму ряда

.

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то u_n=0.

Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши)

Положительный ряд сходится ,когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

Если сходится, то также сходится;

Если расходится, то также расходится.

Признак сравнения в предельной форме.

Даны два ряда с положительными членами  и и пусть существует конечный и не равный нулю . Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Признак Д’Аламбера

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Интегральный признак Коши — Маклорена

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется: (функция принимает неотрицательные значения) (функция монотонно убывает) (соответствие функции ряду) Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Вопрос 29

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1. a_n+1 < a_n для всех n; 2. .

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

Вопрос 30

Признак Абеля сходимости числовых рядов

Числовой ряд сходится, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность монотонна и ограничена.

2. Числовой ряд сходится.

Признак Дедекинда

Ряд сходится, если: ряд абсолютно сходится при ; частичные суммы ряда ограничены.

Вопрос 31

Перестановка членов ряда

Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд

Вопрос 32

Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

Вопрос 33-34

Функциональный ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

Степенной ряд – это ряд, в общий член  которого входят целые положительные степени независимой переменной

Степенной ряд .

Переменная  может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»: Если , то Если , то Если , то И так далее.

Очевидно, что, подставляя в  то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. множество значений «икс», при котором степенной ряд  будет сходиться и называется областью сходимости ряда.

Радиус сходимости это половина длины интервала сходимости: