3. Задача минимизации расходов

Как достичь данного уровня полезности с минимальными расходами? Допустимое множество двойственной задачи выглядит как множество таких наборов из потребительского множества Х, полезность которых не меньше, чем u̅.

Аналитическая форма:

P1x1 + p2x2 = I → min

U (x1,x2) ≥ u̅

X1≥0, x2 ≥ 0

Функция Лагранжа имеет вид:

L (x1,x2,λ) = p1x1 + p2x2 + λ(u - u̅(x1,x2))

x̅1 = H1 (p1,p2,u)

x̅2 = H2 (p1,p2,u)

Обозначим решение этой задачи через Н(p,u) и будем называть соответствующее отображение компенсированным спросом (спросом по Хиксу).

Внутреннее равновесие, так же как и в задаче максимизации полезности характеризуется равенством MRS между двумя благами и их относительными ценами.

Следует различать обычную (маршаллианскую) кривую спроса и кривую компенсированного спроса. Первая выражает зависимость между ценой и величиной спроса с учетом как эффекта замещения, так и эффекта дохода. Она строится при фиксированном номинальном доходе потребителя. Вторая выражает зависимость между ценой и величиной спроса с учетом только эффекта замещения. Она строится при фиксированном реальном доходе потребителя. Поскольку для нормальных товаров общий эффект изменения цены превышает эффект замещения, кривая компенсированного спроса по этим товарам всегда круче обычной кривой спроса (рис. 3.3а). Поскольку по товарам низшей категории общий эффект изменения цены меньше эффекта замещения, кривая компенсированного спроса по этим товарам более полога, чем маршаллианская кривая спроса (рис. 3.36). Поскольку эффект замещения изменяет объем спроса в направлении, обратном изменению цен, кривая компенсированного спроса всегда имеет отрицательный наклон, тогда как обычная кривая спроса может иметь положительный наклон в случае товара Гиффена.

Рис. 3.3. Взаимное расположение маршаллианской кривой спроса (D^M) и кривой компенсированного спроса (D^C): а) для нормальных товаров; б) для товаров низшей категории

Свойства компенсированного спроса:

1. Однородность нулевой степени относительно цен: Н(λp,u̅) = Н(p,u̅) для любого λ.

2. Ограничение задачи минимизации расходов выполняется как равенство: для любого х*∊Н(p,u̅) имеем u(x*)= u̅.

3. Если предпочтения выпуклы, то множество Н(p,u̅) выпукло

4. Если предпочтения строго выпуклы, то множество Н(p,u̅) состоит из одного элемента, т.е. отображение является функцией компенсированного спроса

5. Имеет место закон компенсированного спроса: для любых х`∊ Н(p`,u̅) и x``∊ Н(p``,u̅) имеем: (p`-p``)(x`-x``)≤ 0

Изучив свойства решения задачи минимизации расходов обратим внимание на значение минимальных расходов. Подставив решение задачи в целевую функцию, мы получим зависимость уровня минимальных расходов от цен и уровня полезности. Полученную функцию отражающую эту зависимость называют функцией расходов:

e(p,u̅) = px*, где х ∊ Н(p,u̅)

Свойства функции расходов:

1. Данная функция не убывает по ценам:

Если количества товаров в оптимальном потребительском наборе строго положительны, рост цены отдельного товара, как таковой, уменьшает максимально достижимый уровень полезноcти и для достижения потребителем исходного уровня полезности его расходы следует увеличить.

2. Функция расходов линейно однородна по ценам:

Если цены товаров растут в одинаковой пропорции, то расходы, требуемые для достижения данного целевого уровня полезности, следует увеличить в той же пропорции.

3. Возрастает по уровню полезности.

4. ? Функция расходов вогнута по ценам, т.е. растет по цене убывающим темпом, что обусловлено замещением более дорогого товара более дешевыми в оптимальном наборе (т.е. наборе заданной полезности и минимальной стоимости) по мере подорожания одного из товаров.

5. Функция расходов непрерывна по ценам, при принятии их значений положительными. Хотя свойство 4, вообще говоря, не вытекает с необходимостью из свойства 3, мы принимаем его как удобную техническую предпосылку, благодаря которой функция расходов оказывается дважды дифференцируемой по ценам. Это, в свою очередь, обеспечивает наличие у нее свойства 5.

6. Зная функцию расходов, можно относительно легко, т.е. не решая двойственную задачу, найти хиксианский спрос на товар. Достаточно применить лемму Шепарда, согласно которой этот спрос (для товара X) есть

Доказательство: лемма Шепарда является закономерным результатом приведенного нами выше рассуждения, согласно которому график зависимости функции расходов от цены одного из товаров везде лежит либо под касательной к любой его точке, либо на ней. Если при этом, как мы уже предположили, частная производная функции расходов по цене товара существует при всех положительных значениях этой цены, т.е. изгиб кривой является гладким, то наклон в любой точке кривой, описывающей функцию расходов, есть не что иное, как оптимальный спрос индивида в этой точке, окажем это в общем виде, считая, что нам заданы вектор цен Р° и соответствующий ему минимизирующий расходы потребителя товарный набор q°. Тогда, по определению,

Поскольку мы приняли полезность неизменной, изменения dq_i должны удовлетворять следующему условию: Но из условия первого порядка задачи минимизации расходов следует, что — это величина, обратная предельной полезности дохода. Поэтому мы имеем:

Следовательно, хотя потребитель, как правило, изменяет структуру своего потребления в ответ на малое изменение цены, такая корректировка оказывает незначительное влияние на минимальные расходы, требуемые для достижения данной целевой полезности, и потому, при неизменности цен остальных товаров и полезности, равенство принимает вид:

Откуда следует, что количество товара qf равно частной производной функции расходов по цене данного товара в точке исходного выбора. Поскольку данная частная производная есть функция от Р° и U, это количество товара qj также выступает функцией указанных переменных и потому есть функция компенсированного (хиксианского) спроса на данный товар: