2. Задача максимизации полезности
В действительности потребителю бывает доступно не все множество Х, а лишь некое его подмножество, называемое бюджетным множеством. Задача потребителя, которая заключается в выборе наиболее предпочтительного набора при данных ценах p и уровне дохода I может быть записана следующим способом:
px I
Если рассматривать задачу потребительского выбора как задачу мат.программирования, то ее аналитическая форма будет:
U(x1,x2)→max
P1x1 + p2x2 ≤ I
x1≥0, x2≥0
Если рассматривать эту задачу как задачу на условный экстремум, то ее решение м.б. геометрическим: двигаясь по линиям безразличия на «северо-восток» до упора, выбираем линию безразличия, которая имеет с бюджетной прямой точку касания (х1, х2) – этот набор называется локальным рыночным равновесием.
Задачи на условный экстремум решаются также с помощью функции Лагранжа, которая имеет вид:
L (x1,x2,λ) = U (x1,x2) + λ (I –p1x1 – p2x2)
– λp1
= 0
– λp2
= 0
I – p1x1 – p2x2 = 0
Решение системы называется критической точкой функции Лагранжа, она может быть записана как (x1,x2,λ) – длинная точка, или (x1,x2) – короткая точка. Координата λ в микроэкономике трактуется как предельная полезность денег.
Cуществует только одна критическая точка – она и будет являться точкой глобального максимума функции.
Если
функция полезности дифференцируема,
то при условии регулярности мы можем
охарактеризовать решение задачи
потребителя с помощью условий Куна-Таккера:
если х* - решение задачи потребителя при
(p,I),
то существует множитель Лагранжа λ
0
такой, что для любого товара:
λpi
λpi
, если х* >0
Соответственно внутренне решение характеризуется равенством предельной нормы замещения мжду двумя благами и их относительными ценами:
MRS
ij
=
=
Решая задачу максимизации полезности на бюджетном множестве, получим, что каждой паре (p, I) соответствует множество наилучших при данных ценах и доходе потребительских наборов x (p,I). Функции x1 = D1(p1,p2, I) х2 = D2(p1,p2, I) называются функциями спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на первый и второй продукты со стороны потребителя.
В общем виде для n товаров при данной функции полезности выполняется
X* = Dn = (P1, P2, … Pn, I), где Х- величина спроса на товар х, а D- функция спроса.
Функции
спроса Di(p1,p2, M), i=1,2 однородны нулевой
степени по всем переменным, т.е. для
любого числа γ> 0
Из задачи потребителя, помимо характеристики спроса, мы получим зависимость полезности от экзогенных параметров, таких как цены и доход, если подставим найденный спрос в целевую функцию. Полученная функция называется косвенной функцией полезности.
Функция
называется
косвенной (неявной) функцией полезности
параметров р1, р2, М; выражение v(p1 p2, M)
есть максимум функции полезности.
Свойства косвенной функции полезности v(p1,p2, М):
1 Косвенная функция полезности v(p1,p2, M) является однородной функцией нулевой степени по всем переменным р1,р2, М:
эта однородность объясняется той же причиной, что и однородность функции индивидуального спроса: неизменностью бюджетного ограничения при умножении на положительное число всех его детерменант.
2
Косвенная функция полезности строго
возрастает по доходу:
Если
M1> M, то v(p1p2, M) > v(p1p2, M1), ибо бюджетная
прямая p1x1+p2x2= M1 расположена северо-восточнее
бюджетной прямой р1х1 + р2х2 = М, и
следовательно, линия безразличия Iu1
расположена северо-восточнее линии
безразличия Iu,
откуда вытекает неравенство
3
Косвенная функция полезности не
возрастает по ценам:
Если
q1>p1 то τ1= v(q1,p2, M) < v(p1,p2, M) = τ Бюджетное
множество для бюджетной линии с более
низкими ценами включает в себя множество
для бюджетной линии с более высокими
ценами, вследствие чего касание с
границей второго множества будет никак
не выше касания с границей первого.
4. Проекции линии уровня косвенной функции полезности квазивыпуклы к началу координат: в отличие от кривых безразличия, отображающих прямую функцию полезности, и в соответствии со свойством 3 отображаемые уровни полезности нарастают в направлении не от начала координат, а к нему. Это своеобразные кривые безразличия, которые строятся в пространстве товарных цен и именуются «ценовыми кривыми безразличия»
5.
Если
,
то косвенная функция полезности
непрерывная по всем переменным понятие
косвенной функции полезности можно
применять для изучения налогов и субсидий
на уровень полезности, достигаемый
индивидом в потреблении. в частности,
доказывается принцип преимущества
аккордного обложения, согласно которому
налоги на совокупный доход снижают
данный уровень полезности в меньшей
степени, чем налоги на единицу потребления
(потоварные налоги), приносящие такую
же сумму в бюджет.
6.Предельная полезность по доходу равна производной глобального максимума по параметру I :
=
= λ
Это утверждение позволяет оценить новый максимум функции полезности, который получается при относительно малом изменении дохода:
+
λ
I
7. Если предпочтения локально ненасыщаемы и строго выпуклые и функция v(p,I) дифференцируема при (p,I) >> 0, то выполняется тождество Роя: мерой изменения значения функции полезности в связи с изменением цены является произведение (-хi*λ), i =1,2
=
- ͠xi*λ
= -͠xi*
Это позволяет оценить новый max функции полезности, который получается при относительно малом изменении цены:
=
-
͠xi*λ*∆p