25.2. Случаи понижения порядка.
Укажем два случая, когда ДУ второго порядка
(*)
приводится к ДУ первого порядка.
2.1. Пусть уравнение (*) имеет вид
.
Полагая
и
,
получим ДУ первого порядка
,
где роль независимой переменной играет .
2.2. Пусть уравнение (*) имеет вид
Полагая
и
,
получим уравнение первого порядка
с неизвестной функцией
.
25.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
25.3.1. Линейное однородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
(*)
Для решения данного уравнения составляют характеристическое уравнение
Возможны три случая:
а)
.
Тогда
корни характеристического уравнения
и уравнение (*) имеет общее решение вида
.
b)
.
Тогда
и общее решение уравнения (*) имеет вид
.
с)
.
Тогда общее решение уравнения (*) имеет
вид
.
25.3.2. Линейное неоднородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
(**)
где
постоянные числа,
известная функция от
.
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (**) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (*) и частного решения данного неоднородного уравнения.
Так как находить общее решение линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами мы умеем, то осталось указать способ нахождения частного решения данного неоднородного линейного ДУ. При рассмотрении этой задачи мы ограничимся лишь простейшими правыми частями уравнения
.
1) Правая часть уравнения есть показательная функция, т.е.
.
Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
.Если характеристическое уравнение имеет два равных корня и один из корней, то частное решение ищем в виде
.Если характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня, равных числу , то частное решение ищут в виде
.
2) Правая часть неоднородного уравнения есть тригонометрический полином
.
Частное
решение ищут в форме тригонометрического
полинома
,
где
и
неопределённые коэффициенты, или
.
3) Правая часть линейного уравнения представляет собой многочлен, например, второй степени
.
Ищем частное решение этого уравнения в виде
,
где
неопределённые
коэффициенты, если
.
Если же
,
то при
частное решение ищем в виде
.
Аналогично поступают, если многочлен другой степени.