- •1.2. Прямоугольная система координат на плоскости.
- •1.3. Полярная система координат.
- •1.4. Связь между полярными и декартовыми координатами.
- •1.5. Расстояние между двумя точками.
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •1.7. Площадь треугольника.
- •2.1. Уравнение линии на плоскости.
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •2.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •2.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •2.5. Общее уравнение прямой.
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках на осях координат.
- •2.7. Угол между прямыми на плоскости.
- •2.8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •3.1. Расстояние от точки до прямой.
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •4.1. Эллипс. Окружность.
- •4.2. Гипербола.
- •4.3. Парабола.
- •5.1 Понятие о матрице.
- •5.2. Сложение и вычитание матриц.
- •5.3. Умножение матрицы на число.
- •5.4. Умножение матриц.
- •5.5. Транспонирование матрицы.
- •5.6. Элементарные преобразования строк матрицы.
- •5.7. Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.
- •6.1. Определители второго порядка.
- •6.2. Определители третьего порядка.
- •6.3. Определитель n-го порядка (n n).
- •6.4. Свойства определителей.
- •6.5. Обратная матрица.
- •7.1. Систем линейных уравнений.
- •7.2. Критерий совместности системы линейных уравнений.
- •7.3. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •7.4. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
- •7.5. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •8.1. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.
- •8.2. Понятие вектора.
- •8.3. Линейные операции над векторами.
- •8.4. Проекция вектора на ось.
- •8.5. Координаты вектора.
- •8.6. Длина вектора. Расстояние между точками в пространстве.
- •8.7. Деление отрезка в данном отношении.
- •9.1. Разложение вектора по базисным векторам.
- •9.2. Скалярное произведение векторов.
- •9.3. Правые и левые системы координат.
- •9.4. Векторное произведение двух векторов.
- •9.5. Смешанное произведение векторов.
- •10.1. Плоскость в пространстве.
- •10.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •10.1.2.Общее уравнение плоскости.
- •10.1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •10.1.4. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •10.1.5. Угол между двумя плоскостями.
- •10.2. Прямая в пространстве.
- •10.2.1. Векторно-параметрическое уравнение прямой.
- •10.2.6. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •10.3. Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
- •10.3.1. Прямая как пересечение двух плоскостей.
- •10.3.2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •10.3.3. Угол между прямой и плоскостью.
- •10.3.4. Расстояние от точки до плоскости.
- •10.4. Цилиндры второго порядка.
- •10.5. Поверхности вращение второго порядка.
- •10.6. Поверхности второго порядка.
- •11.1. Линейные пространства и их простейшие свойства.
- •11.2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •11.3. Размерность и базис линейного пространства.
- •12.1. Понятие функции.
- •12.2. Понятие функции нескольких переменных.
- •12.3. Предел функции.
- •12.4. Односторонние пределы функции.
- •12.5. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
- •12.6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •13.1. Основные теоремы о пределах функций.
- •13.2. Замечательные пределы.
- •14.2. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.1. Признак возрастания и убывания функции.
- •17.2. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •17.3. Направления выпуклости, точки перегиба.
- •17.4. Асимптоты.
- •17.5. Исследование функций и построение графиков.
- •18.1. Понятие о первообразной функции.
- •18.2. Неопределённый интеграл и его свойства.
- •18.3. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •18.4 Понятие об основных методах интегрирования.
- •19.1. Задача о площади криволинейной трапеции.
- •19.2. Понятие определённого интеграла.
- •19.3. Свойства определенного интеграла.
- •19.4. Теорема об оценке определённого интеграла. Теорема о среднем.
- •19.5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19.6. Основные методы интегрирования.
- •19.7. Приложения определённого интеграла.
- •19.7.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •19.7.3. Площадь поверхности вращения.
- •19.7.4. Объём тела.
- •20.1. Интегралы с бесконечными пределами.
- •20.2. Интегралы от неограниченных функций.
- •21.1. Основные понятия.
- •21.2. Предел и непрерывность.
- •21.3. Частные производные первого порядка.
- •21.4. Частные производные высших порядков.
- •21.5. Дифференцируемость полный дифференциал.
- •21.6. Экстремум функции двух переменных.
- •21.7. Метод наименьших квадратов.
- •22.1. Двойной интеграл и его свойства.
- •Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.
- •22.2. Тройной интеграл и его вычисление.
- •23.1.Основные понятия.
- •23.1.Основные свойства числовых рядов.
- •23.3. Положительные ряды.
- •23.4. Знакочередующиеся ряды.
- •23.5. Абсолютная и условная сходимость.
- •23.6. Функциональные ряды.
- •23.7. Степенные ряды.
- •24.1. Основные понятия.
- •24.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •25.2. Случаи понижения порядка.
- •25.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •25.3.1. Линейное однородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
- •25.3.2. Линейное неоднородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
8.7. Деление отрезка в данном отношении.
Теорема 8.2. Пусть М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2). Если точка М(х0;у0;z0) делит отрезок М1М2 в отношении α, то
, , (3)
Доказательство. Нетрудно заметить (рис.8.14), что = + . Так как , то = . Вектор = − .
Теперь,
= + ( − )α,
+ α = + α,
(1 + α) = + α,
= ( + α) .
Перейдём к координатам: = (х0;у0;z0), = (х1;у1;z1), = (х2;у2;z2). Тогда
(х0;у0;z0) = ((х1;у1;z1) + (х2;у2;z2)α) ,
откуда
, , .
Следствие. Пусть М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2). Если М0(х0;у0;z0) ─ середина отрезка М1М2, то
, , .
9.1. Разложение вектора по базисным векторам.
П усть задана прямоугольная система координат в пространстве (рис.9.1). Введём в рассмотрение единичные векторы координатных осей Ох, Оу, Оz, соответственно. Вектор одинаково направлен с осью Оx, ─ с осью Оу, ─ с осью Оz. Векторы называются базисными векторами системы координат или ортами.
Пусть = (х0,у0,z0) ─ произвольный вектор пространства. Отложим из начала координат О вектор = . По свойствам координат = (х0,у0,z0). Пусть числу х0 на оси Ох соответствует точка Мх, числу у0 на Оу ─ Му и числу z0 на оси Оz ─ точка Мz. Тогда , , .
Так как ─ диагональ прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах , и , то нетрудно заметить, что
= + + ,
откуда
= = + + .
Последняя формула даёт разложение вектора по базисным векторам .
9.2. Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами. Обозначение .
Итак, по определению = cosφ, где φ ─ угол между и .
Свойства скалярного произведения.
1. = = cos0 = .
2. Свойство коммутативности: = .
Действительно, = cosφ = = cosφ.
3. Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда = 0.
4. Косинус угла φ между векторами и вычисляется по формуле
cosφ = .
5. ( α) = ( )α , ( α)( β) = ( )(αβ).
6. ( + ) = +
Теорема 1. Если векторы = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2), то = х1х2 + у1у2 + z1z2.
Доказательство. Запишем разложение векторов и по базисным векторам :
= + + , = + +
Тогда, используя свойства скалярного произведения, имеем
= ( + + )( + + ) ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) +
+ ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) (х1х2) + ( )у1х2 + ( )z1x2 + ( )x1y2 + (y1y2) + ( )z1y2 + ( )x1z2 + ( )y1z2 + (z1z2)
Теперь, по свойству 1): = │ │ = 1, = 1, = 1.
По свойству 3): = = = = = = 0.
Следовательно,
= х1х2 + у1у2 + z1z2.
Следствие 1.1. Если = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2), то косинус угла между векторами и вычисляется по формуле
cosφ = .
Следствие 1.2. Векторы = (х1;у1;z1) и = (х2;у2;z2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда х1х2 + у1у2 + z1z2 = 0.