![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.2. Прямоугольная система координат на плоскости.
- •1.3. Полярная система координат.
- •1.4. Связь между полярными и декартовыми координатами.
- •1.5. Расстояние между двумя точками.
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •1.7. Площадь треугольника.
- •2.1. Уравнение линии на плоскости.
- •2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •2.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
- •2.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •2.5. Общее уравнение прямой.
- •2.6. Уравнение прямой в отрезках на осях координат.
- •2.7. Угол между прямыми на плоскости.
- •2.8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •3.1. Расстояние от точки до прямой.
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •4.1. Эллипс. Окружность.
- •4.2. Гипербола.
- •4.3. Парабола.
- •5.1 Понятие о матрице.
- •5.2. Сложение и вычитание матриц.
- •5.3. Умножение матрицы на число.
- •5.4. Умножение матриц.
- •5.5. Транспонирование матрицы.
- •5.6. Элементарные преобразования строк матрицы.
- •5.7. Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.
- •6.1. Определители второго порядка.
- •6.2. Определители третьего порядка.
- •6.3. Определитель n-го порядка (n n).
- •6.4. Свойства определителей.
- •6.5. Обратная матрица.
- •7.1. Систем линейных уравнений.
- •7.2. Критерий совместности системы линейных уравнений.
- •7.3. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •7.4. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
- •7.5. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •8.1. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.
- •8.2. Понятие вектора.
- •8.3. Линейные операции над векторами.
- •8.4. Проекция вектора на ось.
- •8.5. Координаты вектора.
- •8.6. Длина вектора. Расстояние между точками в пространстве.
- •8.7. Деление отрезка в данном отношении.
- •9.1. Разложение вектора по базисным векторам.
- •9.2. Скалярное произведение векторов.
- •9.3. Правые и левые системы координат.
- •9.4. Векторное произведение двух векторов.
- •9.5. Смешанное произведение векторов.
- •10.1. Плоскость в пространстве.
- •10.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •10.1.2.Общее уравнение плоскости.
- •10.1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •10.1.4. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •10.1.5. Угол между двумя плоскостями.
- •10.2. Прямая в пространстве.
- •10.2.1. Векторно-параметрическое уравнение прямой.
- •10.2.6. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •10.3. Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
- •10.3.1. Прямая как пересечение двух плоскостей.
- •10.3.2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •10.3.3. Угол между прямой и плоскостью.
- •10.3.4. Расстояние от точки до плоскости.
- •10.4. Цилиндры второго порядка.
- •10.5. Поверхности вращение второго порядка.
- •10.6. Поверхности второго порядка.
- •11.1. Линейные пространства и их простейшие свойства.
- •11.2. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •11.3. Размерность и базис линейного пространства.
- •12.1. Понятие функции.
- •12.2. Понятие функции нескольких переменных.
- •12.3. Предел функции.
- •12.4. Односторонние пределы функции.
- •12.5. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
- •12.6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •13.1. Основные теоремы о пределах функций.
- •13.2. Замечательные пределы.
- •14.2. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.1. Признак возрастания и убывания функции.
- •17.2. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •17.3. Направления выпуклости, точки перегиба.
- •17.4. Асимптоты.
- •17.5. Исследование функций и построение графиков.
- •18.1. Понятие о первообразной функции.
- •18.2. Неопределённый интеграл и его свойства.
- •18.3. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •18.4 Понятие об основных методах интегрирования.
- •19.1. Задача о площади криволинейной трапеции.
- •19.2. Понятие определённого интеграла.
- •19.3. Свойства определенного интеграла.
- •19.4. Теорема об оценке определённого интеграла. Теорема о среднем.
- •19.5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19.6. Основные методы интегрирования.
- •19.7. Приложения определённого интеграла.
- •19.7.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •19.7.3. Площадь поверхности вращения.
- •19.7.4. Объём тела.
- •20.1. Интегралы с бесконечными пределами.
- •20.2. Интегралы от неограниченных функций.
- •21.1. Основные понятия.
- •21.2. Предел и непрерывность.
- •21.3. Частные производные первого порядка.
- •21.4. Частные производные высших порядков.
- •21.5. Дифференцируемость полный дифференциал.
- •21.6. Экстремум функции двух переменных.
- •21.7. Метод наименьших квадратов.
- •22.1. Двойной интеграл и его свойства.
- •Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.
- •22.2. Тройной интеграл и его вычисление.
- •23.1.Основные понятия.
- •23.1.Основные свойства числовых рядов.
- •23.3. Положительные ряды.
- •23.4. Знакочередующиеся ряды.
- •23.5. Абсолютная и условная сходимость.
- •23.6. Функциональные ряды.
- •23.7. Степенные ряды.
- •24.1. Основные понятия.
- •24.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •25.2. Случаи понижения порядка.
- •25.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •25.3.1. Линейное однородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
- •25.3.2. Линейное неоднородное ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
19.6. Основные методы интегрирования.
К таким относятся методы: замены переменной; интегрирования по частям.
Теорема (о замене переменной в определённом интеграле).
Пусть
─ непрерывная функция на отрезке [
].
Тогда если: 1) функция
= φ(t)
дифференцируема на
и φ'(t)
непрерывна на
;
2) множеством значений функции
= φ(t)
является отрезок [
];
3) φ
,
φ
,
то справедлива формула
=
(*)
Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница
=
,
где
некоторая первообразная для
на
.
Рассмотрим сложную функцию
.
По правилу дифференцирования сложной
функции
.
То
означает, что функция
является первообразной для функции
,
непрерывной на
,
и, поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница
получаем
=
=
=
=
.
Теорема доказана.
Формула (*) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.
Замечание 1. Если при вычислении неопределённого интеграла с помощью замены переменной мы возвращались от новой переменной к старой, то при замене переменной в определённом интеграле делать этого не надо.
Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле).
Если
функции
и
непрерывны вместе со своими производными
и
на
,
то справедлива формула
(**)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.
Доказательство. Так как функции и имеют по условию производные, то по правилу дифференцирования произведения
,
т.е.
функция
является первообразной для функции
.
Так как эта функция непрерывна на
,
то она интегрируема на этом отрезке и
по формуле Ньютона-Лейбница
=
.
Тогда
=
,
откуда
.
Теорема доказана.
19.7. Приложения определённого интеграла.
19.7.1. Площадь криволинейной трапеции.
Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции на равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми , снизу осью .
19.7.3. Площадь поверхности вращения.
Пусть
кривая
задана уравнением
,
,
и пусть функция
н
еотрицательна
и непрерывна вместе со своей первой
производной на
.
Тогда поверхность, образованная вращением
кривой
вокруг оси
(Рис.19.7.), имеет площадь
,
которая может быть вычислена по формуле
.
Если
же поверхность получается вращением
кривой
,
заданной уравнением
,
,
вокруг оси
,
то площадь такой поверхности вычисляется
по формуле
.
19.7.4. Объём тела.
Рассмотрим некоторое
тело и вычислим его объём
.
Допустим, что известны площади сечений
этого тела плоскостями, перпендикулярными
оси
.
С изменением
меняется и площадь сечения, т.е. площадь
сечения является некоторой функцией
.
Если эта функция непрерывна на
,
то объём тела
.
В
частности, если тело образовано вращением
вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной
сверху дугой
непрерывной линии
,
где
(Рис.19.10.), то
и получаем формулу
.
Если же тело
получено вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной
дугой
линии
,
,
то его объём
.