Шпора по аналитической геометрии [DOCX]

(каши-конековский) Rⁿ – элементы которого упорядоченные наборы из n чисел/// Скаляром произведения элементов линейного пространства называется число (х,у)=х₁у₁+х₂у₂..

Модулем называется число |х|=√x₁²x₂²+…

Для любых векторов х,у (х, у)≤|х|*|у|

(х+λу,х+λу)=(х,х)+2λ(х,у)+λ²(у,у)

По свойству: (х+λубх+λу)≥0

(х,х)+2λ(х,у)+λ²(у,у)≥0

Т.е. график парабола и лежит выше оси абцисс

D=(2(x,y))²-4(x,x)(y,y)≤0

Отсюда (х,у)²≤(х,х)(у,у),|(x,y)|≤√(x,x)*√(y,y), |(x,y)|≤|x||y|

Многочленом от переменной z над полем С называется выражение вида

F(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+…+a_n-1z+a_n

F(z)+g(z)=(a₀zⁿ+a₁z^n-1+..+a_n)+(b₀z^m+b₁z^m-1+..+b_m)

F(z)g(z)=(a₀zⁿ+a₁z^n-1+..+aⁿ)(b₀z^m+b₁z^m-1+b_m)-a₀b₀z^m+n+(a₀b₁+a₁b₀)z^m+n-1+..+a_nb_m

Deg(f(z)g(z))=degf(z)+degg(z)

Для любых многочленов сущ. многочлен h(z),r(z) такой что (алгоритм Эвклида)

F(z)=g(z)h(z)+r(z), degr(z)<degg(z)

Д: Пусть degf(z)=n, degg(z)=k, Если n<k, то h(z)=0, r(z)=f(z)

F(Z)-0g(z)+f(z), degf(z)<degg(z)

a₀zⁿ+a₁z^n-1+..a_n a₀zⁿ+a₀b₁/b₀*z^n-1+..

//b₀z^k+b₁z^k-1+b_k a₀/b₀*z^n-k+…

Остаток от деления f(z) на z–a равен f(a)

Д: Разделим f(z) на z-a с остатком

F(z)=(z-a)h(z)+r(z) degr(z)<deg(z-a), так как Deg(z-a)=1, to degr(z)=0, t.e. r(z)=c=const f(a)=0+c=c

T: Любой многочлен степени большей 0 имеет в поле комплексных чисел хотя бы 1 корень

Д: Пусть f(z)=c₀zⁿ+x₁z^n-1+..cⁿ, то сущ. Корень a1.

Закон инерции: f1 ̴ f2 r(f1)=r(f2)

Л: Ранг произведения матриц меньше либо равен рангу каждого из сомножетелей

Д, л: По лемме r(SA)≤r(A). Так как A=S-1(SA), r(A)= r(S-1(SA))≤r(SA), значит r(SA)=r(A).

Д, з: A₂=SA₁S^T, r(A₂)=r(SA₂S^T)=r(A₁);;; <= Пусть Y(f1)=r(f2)=r f₁ ̴ y₁²+y₂²..+y_n²;; f_2̴ -//-

Ортогональные преобр. L-евклидого пространство A:L->L-линейное преобразование L. Преобразование A называется орногональная если ѴхеL. (A(x),A(x))=(x,x)

T. A:L->L-линейное преобразование евклидова пространства 1) А-ортогонально, 2)ортог.базис А переводит в ортон. базис 3) матрица А в ортонор. Базисе ортогональна

12 A-ортогонально, е₁,е₂,е₃-ортон. Базис в L, Тогда (А(e_i),A(e_j))=(e_i,e_j)

23 Пусть е1,е2,е3 – ортонорм. Базис. A(e₁)=a₁₁e₁+a₁₂e₂+a₁₃e₃…

Элипсом называется множество точек на плоскости, таких что сумма расстояний от каждой до двух точек есть величина постоянная. x²/a²+y²/b²=1

Параболой называется множество точек на плоскости. Равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) y²=2px

Гиперболой называется множество точек на плоскости, таких, что положительная разность расстояний от каждой из них до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная x²/a²-y²/b²=1

Для любого конического сечения отношение расстояния от произвольной точнки до её фокуса к расстоянию от этой точки до соответсвующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Геометрическое представление ортогональных преобразований: Общее уравнение от двух переменных имеет вид a₁₁x₂+2a₁₂xy+a₂₂y₂+bx+cy+d=0. T: Ортогональное преобразование плоскости есть либо поворот, либо поворот с последующей осевой симметрией.

R=3: λ₁x’’²+λ₂y’’²+λ₃z’’²+e=0 // Свободный член e=0; тогда определяется точка // e совпадает с знаком λ_i , тогда уравовнение не имеет точек., // e противоположен знаку λ_i тогда x’’2/(-e/λ₁) + … =1

R=2: λ₁x’’²+λ₂y’’²+d₃z’=0 //d=0 цилиндрическая поверхность. //d3≠0 x’’²/d₃/λ₁+y’’²/d₃/λ₂+z’+e/d₃=0 – эллиптический параболоид

R=1: λ₁x’’²+d₂y’+d₃z’+e=0; // ==0 задает плоскость x’’=0; e≠0 – пустое множество.

(каши-конековский) Rⁿ – элементы которого упорядоченные наборы из n чисел/// Скаляром произведения элементов линейного пространства называется число (х,у)=х₁у₁+х₂у₂..

Модулем называется число |х|=√x₁²x₂²+…

Для любых векторов х,у (х, у)≤|х|*|у|

(х+λу,х+λу)=(х,х)+2λ(х,у)+λ²(у,у)

По свойству: (х+λубх+λу)≥0

(х,х)+2λ(х,у)+λ²(у,у)≥0

Т.е. график парабола и лежит выше оси абцисс

D=(2(x,y))²-4(x,x)(y,y)≤0

Отсюда (х,у)²≤(х,х)(у,у),|(x,y)|≤√(x,x)*√(y,y), |(x,y)|≤|x||y|

Многочленом от переменной z над полем С называется выражение вида

F(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+…+a_n-1z+a_n

F(z)+g(z)=(a₀zⁿ+a₁z^n-1+..+a_n)+(b₀z^m+b₁z^m-1+..+b_m)

F(z)g(z)=(a₀zⁿ+a₁z^n-1+..+aⁿ)(b₀z^m+b₁z^m-1+b_m)-a₀b₀z^m+n+(a₀b₁+a₁b₀)z^m+n-1+..+a_nb_m

Deg(f(z)g(z))=degf(z)+degg(z)

Для любых многочленов сущ. многочлен h(z),r(z) такой что (алгоритм Эвклида)

F(z)=g(z)h(z)+r(z), degr(z)<degg(z)

Д: Пусть degf(z)=n, degg(z)=k, Если n<k, то h(z)=0, r(z)=f(z)

F(Z)-0g(z)+f(z), degf(z)<degg(z)

a₀zⁿ+a₁z^n-1+..a_n a₀zⁿ+a₀b₁/b₀*z^n-1+..

//b₀z^k+b₁z^k-1+b_k a₀/b₀*z^n-k+…

Остаток от деления f(z) на z–a равен f(a)

Д: Разделим f(z) на z-a с остатком

F(z)=(z-a)h(z)+r(z) degr(z)<deg(z-a), так как Deg(z-a)=1, to degr(z)=0, t.e. r(z)=c=const f(a)=0+c=c

T: Любой многочлен степени большей 0 имеет в поле комплексных чисел хотя бы 1 корень

Д: Пусть f(z)=c₀zⁿ+x₁z^n-1+..cⁿ, то сущ. Корень a1.

Закон инерции: f1 ̴ f2 r(f1)=r(f2)

Л: Ранг произведения матриц меньше либо равен рангу каждого из сомножетелей

Д, л: По лемме r(SA)≤r(A). Так как A=S-1(SA), r(A)= r(S-1(SA))≤r(SA), значит r(SA)=r(A).

Д, з: A₂=SA₁S^T, r(A₂)=r(SA₂S^T)=r(A₁);;; <= Пусть Y(f1)=r(f2)=r f₁ ̴ y₁²+y₂²..+y_n²;; f_2̴ -//-

Ортогональные преобр. L-евклидого пространство A:L->L-линейное преобразование L. Преобразование A называется орногональная если ѴхеL. (A(x),A(x))=(x,x)

T. A:L->L-линейное преобразование евклидова пространства 1) А-ортогонально, 2)ортог.базис А переводит в ортон. базис 3) матрица А в ортонор. Базисе ортогональна

12 A-ортогонально, е₁,е₂,е₃-ортон. Базис в L, Тогда (А(e_i),A(e_j))=(e_i,e_j)

23 Пусть е1,е2,е3 – ортонорм. Базис. A(e₁)=a₁₁e₁+a₁₂e₂+a₁₃e₃…

Элипсом называется множество точек на плоскости, таких что сумма расстояний от каждой до двух точек есть величина постоянная. x²/a²+y²/b²=1

Параболой называется множество точек на плоскости. Равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) y²=2px

Гиперболой называется множество точек на плоскости, таких, что положительная разность расстояний от каждой из них до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная x²/a²-y²/b²=1

Для любого конического сечения отношение расстояния от произвольной точнки до её фокуса к расстоянию от этой точки до соответсвующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Геометрическое представление ортогональных преобразований: Общее уравнение от двух переменных имеет вид a₁₁x₂+2a₁₂xy+a₂₂y₂+bx+cy+d=0. T: Ортогональное преобразование плоскости есть либо поворот, либо поворот с последующей осевой симметрией.

R=3: λ₁x’’²+λ₂y’’²+λ₃z’’²+e=0 // Свободный член e=0; тогда определяется точка // e совпадает с знаком λ_i , тогда уравовнение не имеет точек., // e противоположен знаку λ_i тогда x’’2/(-e/λ₁) + … =1

R=2: λ₁x’’²+λ₂y’’²+d₃z’=0 //d=0 цилиндрическая поверхность. //d3≠0 x’’²/d₃/λ₁+y’’²/d₃/λ₂+z’+e/d₃=0 – эллиптический параболоид

R=1: λ₁x’’²+d₂y’+d₃z’+e=0; // ==0 задает плоскость x’’=0; e≠0 – пустое множество.

(каши-конековский) Rⁿ – элементы которого упорядоченные наборы из n чисел/// Скаляром произведения элементов линейного пространства называется число (х,у)=х₁у₁+х₂у₂..

Модулем называется число |х|=√x₁²x₂²+…

Для любых векторов х,у (х, у)≤|х|*|у|

(х+λу,х+λу)=(х,х)+2λ(х,у)+λ²(у,у)

По свойству: (х+λубх+λу)≥0

(х,х)+2λ(х,у)+λ²(у,у)≥0

Т.е. график парабола и лежит выше оси абцисс

D=(2(x,y))²-4(x,x)(y,y)≤0

Отсюда (х,у)²≤(х,х)(у,у),|(x,y)|≤√(x,x)*√(y,y), |(x,y)|≤|x||y|

Многочленом от переменной z над полем С называется выражение вида

F(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+…+a_n-1z+a_n

F(z)+g(z)=(a₀zⁿ+a₁z^n-1+..+a_n)+(b₀z^m+b₁z^m-1+..+b_m)

F(z)g(z)=(a₀zⁿ+a₁z^n-1+..+aⁿ)(b₀z^m+b₁z^m-1+b_m)-a₀b₀z^m+n+(a₀b₁+a₁b₀)z^m+n-1+..+a_nb_m

Deg(f(z)g(z))=degf(z)+degg(z)

Для любых многочленов сущ. многочлен h(z),r(z) такой что (алгоритм Эвклида)

F(z)=g(z)h(z)+r(z), degr(z)<degg(z)

Д: Пусть degf(z)=n, degg(z)=k, Если n<k, то h(z)=0, r(z)=f(z)

F(Z)-0g(z)+f(z), degf(z)<degg(z)

a₀zⁿ+a₁z^n-1+..a_n a₀zⁿ+a₀b₁/b₀*z^n-1+..

//b₀z^k+b₁z^k-1+b_k a₀/b₀*z^n-k+…

Остаток от деления f(z) на z–a равен f(a)

Д: Разделим f(z) на z-a с остатком

F(z)=(z-a)h(z)+r(z) degr(z)<deg(z-a), так как Deg(z-a)=1, to degr(z)=0, t.e. r(z)=c=const f(a)=0+c=c

T: Любой многочлен степени большей 0 имеет в поле комплексных чисел хотя бы 1 корень

Д: Пусть f(z)=c₀zⁿ+x₁z^n-1+..cⁿ, то сущ. Корень a1.

Закон инерции: f1 ̴ f2 r(f1)=r(f2)

Л: Ранг произведения матриц меньше либо равен рангу каждого из сомножетелей

Д, л: По лемме r(SA)≤r(A). Так как A=S-1(SA), r(A)= r(S-1(SA))≤r(SA), значит r(SA)=r(A).

Д, з: A₂=SA₁S^T, r(A₂)=r(SA₂S^T)=r(A₁);;; <= Пусть Y(f1)=r(f2)=r f₁ ̴ y₁²+y₂²..+y_n²;; f_2̴ -//-

Ортогональные преобр. L-евклидого пространство A:L->L-линейное преобразование L. Преобразование A называется орногональная если ѴхеL. (A(x),A(x))=(x,x)

T. A:L->L-линейное преобразование евклидова пространства 1) А-ортогонально, 2)ортог.базис А переводит в ортон. базис 3) матрица А в ортонор. Базисе ортогональна

12 A-ортогонально, е₁,е₂,е₃-ортон. Базис в L, Тогда (А(e_i),A(e_j))=(e_i,e_j)

23 Пусть е1,е2,е3 – ортонорм. Базис. A(e₁)=a₁₁e₁+a₁₂e₂+a₁₃e₃…

Элипсом называется множество точек на плоскости, таких что сумма расстояний от каждой до двух точек есть величина постоянная. x²/a²+y²/b²=1

Параболой называется множество точек на плоскости. Равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) y²=2px

Гиперболой называется множество точек на плоскости, таких, что положительная разность расстояний от каждой из них до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная x²/a²-y²/b²=1

Для любого конического сечения отношение расстояния от произвольной точнки до её фокуса к расстоянию от этой точки до соответсвующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Геометрическое представление ортогональных преобразований: Общее уравнение от двух переменных имеет вид a₁₁x₂+2a₁₂xy+a₂₂y₂+bx+cy+d=0. T: Ортогональное преобразование плоскости есть либо поворот, либо поворот с последующей осевой симметрией.

R=3: λ₁x’’²+λ₂y’’²+λ₃z’’²+e=0 // Свободный член e=0; тогда определяется точка // e совпадает с знаком λ_i , тогда уравовнение не имеет точек., // e противоположен знаку λ_i тогда x’’2/(-e/λ₁) + … =1

R=2: λ₁x’’²+λ₂y’’²+d₃z’=0 //d=0 цилиндрическая поверхность. //d3≠0 x’’²/d₃/λ₁+y’’²/d₃/λ₂+z’+e/d₃=0 – эллиптический параболоид

R=1: λ₁x’’²+d₂y’+d₃z’+e=0; // ==0 задает плоскость x’’=0; e≠0 – пустое множество.