Шпора по АТЧ

Проекция вектора на ось – прямая на которой задано направление

Алг. Значение:

Пр_αAB=|AB| cos AB,a;

Свойства:

1. Пр_α(x+y)=пр_αx+пр_αy;

2. Пр_α(αx)=αпр_αx;

Ортогональный базис – все его вектора попарно ортогональны

Ортонормированный - если он ортогональный и все его вектора ортнормировынные

Ориентация на прямой

Либо +, либо –

Ориентация на плоскости

Задание пары упорядоченных линейно независимыхх (не коллинеарных) векторов

Ориентация в пространстве

Задание в тройке упорядоченных не коллинеарных векторов

правая тройка: кратчайший поворот от 1 до 2-го виден из конца 3-го против часовой стрелки

Векторное произведение

Вектор c:

1. с ортогонален а и b

2. a, b, c – правая тройка

3. |c|=|a||b| sin a,b

Свойства:

1. [a,b]=-[b,a];

2. [αa,b]=α[a,b];

3. [a,b,c]=[a,b]+[a,c];

4. [a,b]=0 или а=0 или b=0 или a||b

5. длина [a,b] равна площади пар-ма, построенного на c,b

смешанное произведение

(a,b,c)=([a,b],c);

Свойства:

1. (a,b,c) правая +, левая -

2. ([a,b],c)=(a,[b,c])

Объем пар-да: если правая тройка – то +, левая –

3. (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b);([a,b],c)=(a,[b,c])

Объем пар-да: если правая тройка – то +, левая –

4. (a,b,c)=-(b,a,c)

5. 3 вектора компланарны, если их смеш. произв. равно 0

Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφ_a,b.

 Свойства скалярного произведения:

1. коммутативность: (a,b)=(b,a)

2. (а,а)=|а|²

3. (a,b)=0 <=> a b

4. Дистрибутивность: (a₁+а₂,b)= (a₁,b)+ (a₂,b)

5. (а, λ·b)= λ·(a,b) λ R.

Прямоугольная декартовая система координат (ПДСК) состоит из фиксированной точки O (центра системы координат) и трех пересекающихся в ней, взаимно перпендикулярных направленных прямых O_x, O_y, O_z (осей системы координат). Направления выбираются так, чтобы прямые образовывали правую тройку векторов.

Чтобы некоторый отрезок разделить в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.

Полярная

Цилиндрическая

x=pcosf

y=psinf

z=z

сферическая

x=pcosfcosf2

y=psinfcosf2

z=psinf2

Прямая на плоскости – алг. кривая 1-го порядка Ax+By+c=0;

Параметрическое ур-е x=x₀+a₁t; y=y₀+a₂t;

Каноническое x-x₀/x₁=y-y_o/y₁;

Нормальное ур-е xcosα+ysinα-p=0 p>=0

Норм. вектор – перпендикулярный прямой

Напр. косинусы вектора – косинусы углов, косинусы углов, образованных вектором с осями координат.

Линия наз-cя алгебр., если ее ур-е в д с к имеет вид

 где F(xy) - многочлен степени n относительно переменных х, у.

Степень этого многочлена называют порядком алг линии. Напр, прямая линия на плоскости -алг линия 1 порядка. Линии, не явл-ся алг-ми, наз-ют трансцендентными

Прямая на плоскости – алг. кривая 1-го порядка Ax+By+c=0;

Параметр. ур-е x=x₀+a₁t; y=y₀+a₂t;

Канон. x-x₀/x₁=y-y_o/y₁;

Нормальное ур-е xcosα+ysinα-p=0 p>=0

Норм. вектор – перпендикулярный прямой

Напр. косинусы вектора – cos углов, cos углов, образованных вектором с осями координат.

Взаимное рас-ие 2 прямых:

1. пересекаются rang(A1B1|A2B2)=rang(A1B1C1|A2B2C2);

2. ||-ны rang(A1B1|A2B2)<rang(A1B1C1|A2B2C2);

3. совпадают N1=lN2; c₁=lc₂;

угол: cosα=(N1,N2)/(|N1||N2|);

Плоскость –множество точек 3-х мерного пространства, где

Ax+By+Cz+D=0

Ур-е плоскости, проход-е ч/з заданную точку

A(x-x_o)+B(y-y₀)+C(z-z_o)=0;

Ур-е пл-сти ч/з 3 точки

M₀M=(x-x_0, y-y_0, z-z₀­­)

Ур-е плоскости в отрезках

x/a+y/b+z/c=1;

Параметр. ур-е плоскости:

x=x₀+a1u+b1v; y=y­₀+a2+b2v; z=z₀+a3u+b3v;

Норм. вектор – перпенд. вектор

Напр. косинусы вектора – косинусы углов, косинусы углов, образованных вектором с осями координат

|| перенос x=x’ + x₀; y=y’+y₀;

Поворот x=x’cosα-y’sinα; y=x’sinα+y’cosα; x=px’;

Общее:

|поворот x’=px’’+x₀;

поворот, || x’=px’’+px₀;

Родство кр. 2-го порядка Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности   после преобразований (можно записать с помо­щью единого уравнения вида

А не 0, С не 0.