- •Матрицы и действия над ними.
- •Основные действия над матрицами.
- •4. Системы линейных уравнений и методы их решения.
- •Метод Крамера.
- •Правило треугольника.
- •Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
- •7. Скалярное произведение векторов.
- •9. Уравнение прямой на плоскости.
- •11. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •12. Угол между прямыми на плоскости.
- •15. Окружность.
- •17. Гипербола.
- •18. Определение и способы задания функции.Предел функции в точке.
- •19. Раскрытие неопределенностей.
- •21 22 23. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •24. Основные правила дифференцирования.
- •26 27.Возрастание и убывание функций.
- •28. Точки экстремума.
- •29 30. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •24. Первообразная функция.
- •36. Неопределенный интеграл.
- •38. Определенный интеграл.
- •39. Замена переменных.
- •45. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •47. Однородные уравнения.
- •48. Линейные уравнения.
19. Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя.
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Доказательство. Применив формулу Коши, получим:
где - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:
Пусть при ха отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка лежит между точками а и х, то при ха получим а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:
.
Теорема доказана.
Пример: Найти предел .
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f(x) = 2x + ; g(x) = ex;
;
Пример: Найти предел .
; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;
21 22 23. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
у
f(x)
f(x0 +x) P
f
f(x0) M
x
0 x0 x0 + x x
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. ,
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
24. Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u v) = u v
2) (uv) = uv + uv
3) , если v 0
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.
1)С = 0; 9)
2)(xm) = mxm-1; 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда
Пример. Найти производную функции .
Получаем:
Производные этих функций:
Окончательно:
Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
Тогда можно записать: , где 0, при х0.
Следовательно: .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или dy = f(x)dx.
Можно также записать:
Геометрический смысл дифференциала.
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
d(u v) = (u v)dx = udx vdx = du dv
d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
d(Cu) = Cdu
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x).
т.е. y = (y) или .
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
.