1.4. Естественные координаты

Рассмотрим в качестве аргумента радиус-вектора точки длину дуги траектории , отсчитывая ее от начальной точки, соответствующей моменту времени , в направлении движения точки. Сама длина дуги задается, таким образом, как функция времени. Движение точки описывается векторной и скалярной функциями:

. (22.1)

Описание вполне однозначно: каждому соответствует только одно определенное значение , так как является монотонно возрастающей (положительной) функцией Векторная функция позволяет определить в каждой точке траектории так называемые естественные координаты, орты которых образуют естественный трехгранник. Построим эти орты. Касательный вектор в данной точке траектории, очевидно, является единичным вектором, так как , где - элемент дуги, - приращение радиус-вектора, т. е. стягивающая хорда. Поэтому имеем

, (23.1)

. (24.1)

Дифференцируя (24.1) по , получим

, (25.1)

откуда следует, что вектор ортогонален вектору (см. рис. 4.1). Но . Из рисунка видно, что

так как - единичный вектор. Представим вектор в виде

, (26. 1)

где - единичный вектор, направление которого совпадает с вектором , а функция называется кривизной кривой в данной точке. Вектор называется вектором главной нормали, а угол , равный углу между двумя соседними касательными к траектории, называется углом смежности. Кривизна характеризует меру отклонения кривой от прямой в данной точке. Через векторы и проведем плоскость, которую назовем соприкасающейся плоскостью. В этой плоскости в направлении вектора отложим отрезок длины (рис. 4.1). Если теперь в соприкасающейся плоскости построить окружность радиуса с центром в точке , то она будет иметь касание второго порядка с траекторией³ в точке . Эту окружность называют кругом кривизны, а ее радиус - радиусом кривизны.

Третий единичный орт построим с помощью векторного произведения и :

. (27.1)

Это вектор бинормали. Векторы , , очевидно, образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов, которыми определяются направления естественных (натуральных) координатных осей в том месте траектории, где в данный момент времени находится движущаяся точка (рис. 5.1). Проекции векторов и на декартовы оси имеют вид

где . Штрихом мы обозначили производную по .

Парами векторов определяются плоскости: соприкасающаяся , нормальная и спрямляющая . Эти плоскости образуют так называемый естественный трехгранник Френе.

Изучение изменения направления касательного вектора привело нас к понятию кривизны кривой. Новое понятие можно ввести, если рассмотреть изменение направления соприкасающейся плоскости или, что тоже самое, бинормали. Так мы приходим к понятию кручения кривой. Для этого найдем

. (28.1)

С другой стороны, так как , то

, (29. 1)

поэтому из (28.1), (29.1) заключаем, что ортогонален векторам и . Следовательно, коллинеарен с :

. (30.1)

Здесь называют кручением кривой, а - радиусом кручения кривой в некоторой точке кривой. Так как - единичный вектор, то

, (31.1)

где - угол между двумя соседними бинормалями. Из (30.1) видно, что если всюду, то бинормаль не меняет своего направления, а кривая является плоской. Иными словами, кручение является мерой отклонения кривой от плоской кривой. Нетрудно показать, что Т является псевдоскаляром.

Найдем . Так как , то

, (32.1)

где мы учли (26.1) и (30.1), а также соотношения , . Следовательно, единичные векторы естественных координатных осей изменяются вдоль траектории согласно формулам

, , . (33.1)

Это формулы Френе.

Найдем теперь проекции скорости и ускорения на оси естественных координат:

, (34.1)

. (35.1)

Мы видим, что проекция скорости на касательную к траектории равна ⁴

.

Вектор ускорения имеет две проекции: проекцию на касательную, равную , и проекцию на главную нормаль , где R - радиус кривизны в рассматриваемой точке. Заметим, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости: его проекция на бинормаль всегда равна нулю.

В заключение приведем без вывода формулу для кручения кривой. Ее нетрудно получить, умножая скалярно правую и левую части (30.1) на вектор . После несложных преобразований получим

,

откуда видно, что является псевдоскалярной величиной, так как пропорциональна скалярному произведению полярного вектора и аксиального (псевдовектора) вектора .

Упражнения

Показать, что если , то кривая есть прямая.

Так как , то и , причем -постоянный вектор. Значит, , , а это есть уравнение прямой.

Показать, что если , то кривая является плоской.

Из условия следует, что , . Заметим, что , а ортогонален . Так как ортогонален , то , т. е. . Отсюда, интегрируя, получим . Последнее уравнение есть уравнение плоскости, в которой и должна лежать кривая.

1 При инверсии координатных осей все компоненты полярного вектора изменяют знак, в то время как компоненты аксиального вектора при такой операции знака не меняют. Примеры полярных векторов: радиус-вектор , скорость и т. д. Аксиальные векторы - секторная скорость , момент импульса . Вообще, вектор, построенный как векторное произведение двух полярных векторов, является аксиальным вектором. Аксиальный вектор называют также псевдовектором.

2 Координатными поверхностями в декартовой системе называют плоскости, перпендикулярные осям Ox, Оу, Oz и образующие три семейства взаимно перпендикулярных плоскостей.

3 Понятие касания просто дать на языке множеств: пусть и -два множества с общей точкой О. Множество имеет в касание порядка , если

,

где - расстояние точки множества от :

(здесь рисунок)

4 Скалярное произведение векторов и мы обозначаем как или просто , векторное произведение двух векторов и обозначается .

7