Глава 1

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1.1. Кинематические меры движения

Основными кинематическими мерами движения в механике материальной точки и системы материальных точек являются скорости и ускорения поступательного движения. Механические движения в кинематике изучаются на основе их геометрических свойств, т. е. без учета масс тел и действующих на них сил. Методы кинематики и установленные в ней зависимости используются при исследовании задач кинематики, а также в задачах динамики.

Движение любого объекта в кинематике изучается по отношению к некоторому выделенному телу (телу отсчета), с которым связывается система отсчета (СО), позволяющая определить положение движущегося объекта в разные моменты времени относительно тела отсчета. Важно, что выбор СО в кинематике произволен и зависит от целей исследования. Задачей кинематики является установление (с помощью математических методов) способа задания движения материальных точек и определение соответствующих кинематических характеристик движения (траектории, скорости, ускорения движущихся точек).

Положение материальной точки относительно системы отсчета может быть задано с помощью радиус-вектора точки как функции времени . Конец этого радиус-вектора описывает в пространстве кривую (считаем, непрерывную), которая называется годографом вектора и является траекторией точки. Радиус-векторы точек, их скорости и ускорения можно задавать в различных координатах. Это и есть различные способы задания движения тел. Заметим, что векторное уравнение параметрически задает траекторию в пространстве. Годограф вектора есть геометрическое место концов векторов , откладываемых от общего начала О. Исключив из векторного уравнения переменную , найдем уравнение траектории в виде линии пересечения двух поверхностей, например . Если разрешенные относительно и уравнения записать нельзя, то траекторию можно представить в виде пересечения двух поверхностей общего вида: .

С корость точки относительно определяется как производная от радиуса-вектора по времени. Обозначим ее как .

Производная от вектора скорости точки по времени называется ускорением точки относительно ; ускорение будет обозначать вектором Очевидно, скорость точки направлена по касательной к годографу радиус-вектора, а ускорение направлено по касательной к годографу вектора скорости точки.

Кроме этих кинематических характеристик движения в механике материальной точки вводится и используется понятие секторной скорости точки , которая определяется как векторное произведение двух полярных векторов и и является, таким образом, аксиальным вектором (псевдовектором)¹:

. (1.1)

Представим в виде

, (2.1)

где - вектор, характеризующий элементарное перемещение точки, а модуль аксиального вектора равен площади, описанной радиус-вектором при перемещении точки на . Поэтому модуль секторной скорости характеризует площадь, очерчиваемую радиус-вектором в единицу времени (см. рис. 1.1).

Запишем выражения и в различных координатах.