4.8. Точность и количество реализаций модели при зависимом ряде данных

До сих пор мы предполагали, что выходные данные модели образуют ряд значений  , статистически независимых и принадлежащих одному закону распределения. Однако это не всегда так.

Пусть, например, целью статистического моделирования будет определение матожидания времени пребывания заявки в очереди   одноканальной системы массового обслуживания.

В результате эксперимента с моделью будет получен ряд значений  , которые заведомо статистически зависимы:

при большом времени ожидания  -й заявки значение  , не может быть малым, если обе заявки находились одновременно в очереди. Связь точности оценки  , среднего времени ожидания   с количеством реализаций   в этом случае выглядит иначе, чем было рассмотрено ранее. Мы рассмотрим метод определения точности и количества реализаций для статистически зависимых последовательностей - откликов модели, в основе которого лежит так называемый регенеративный анализ.

Допустим, что в результате эксперимента с имитационной моделью получен ряд значений  , приведенный в табл. 4.7.

Здесь   - порядковый номер поступающих заявок.

Таблица 4.7. Результаты эксперимента - время ожидания заявки в очереди
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…
	0	5	7	0	3	0	3	9	11	2	0	…

Обратим внимание на то, что заявка 1 застает канал обслуживания свободным: ее время ожидания в очереди равно нулю. Такая же ситуация возникла для заявок 4, 6 и 11. Период занятости и простоя канала обслуживания образуют цикл его работы. В табл. 4.7 можно выделить три таких цикла, в которые входят следующие наборы обслуженных заявок:

• цикл 1 - заявки 1, 2, 3;

• цикл 2 - заявки 4, 5;

• цикл 3 - заявки 6, 7, 8, 9, 10.

Заявка 11 является началом нового цикла 4 и т. д.

Начала каждого цикла неотличимы друг от друга - заявка поступает на обслуживание без ожидания. Говорят так: система восстанавливается (регенерируется) к началу каждого цикла, следовательно, поведение системы в очередном цикле не зависит от ее поведения в предыдущих циклах.

Введем обозначения:

- сумма времен ожидания  -го цикла,  ;

 - количество заявок, образующих  -й цикл. Для данных, приведенных в табл. 4.5:

Таким образом, мы получили пары чисел - независимых и одинаково распределенных:

Заметим, что числа  и   между собой зависимы.

Целью дальнейших рассуждений является определение оценки

матожидания времени пребывания заявки в очереди  , отличающееся от   на величину не более   при заданной достоверности  . Так как

где   - число циклов, то оценка матожидания времени пребывания заявки в очереди определяется так:

Разделим числитель и знаменатель на число циклов   и получим:

В соответствии с центральной предельной теоремой оценка длительности цикла   при числе циклов   есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией соответственно:

где   - дисперсия, представляющая собой сумму дисперсий зависимых между собой случайных величин   и  .

Следовательно, имеет место уже знакомое нам выражение

Если   - граничное значение ошибки для оценки  , то очевидно граничное значение ошибки для оценки   равно   .

Тогда  . Из этого следует:

Коэффициент  , как и ранее, характеризует достоверность оценки   и является аргументом функции Лапласа:

Значения   и   до эксперимента неизвестны. Их ориентировочные значения должны быть определены по данным предварительных прогонов модели в количестве  реализаций циклов. Обычно   .

Оценку дисперсии   обозначим   . Она вычисляется так:

Здесь:

 - оценка дисперсии  ;

 - оценка дисперсии  ;

 - корреляционный момент случайных величин   и  ;

И, наконец, необходимое число циклов будет определено:

Если окажется  , то моделирование продолжается до достижения   циклов. Если же окажется   , то моделирование заканчивается и, если необходимо, дается оценка достигнутой точности.

Признак конца моделирования:   или количество обслуженных СМО заявок  .