3.5. Моделирование случайной величины с произвольным законом распределения

В основе моделирования случайных величин с произвольными законами распределения вероятностей лежит, как правило, метод обратной функции.

В этом методе используется следующая теорема.

Теорема. Если случайная величина  имеет плотность распределения вероятностей  , то распределение случайной величины

(y)dy)

равномерно в интервале  , т. е.

По определению,  является функцией распределения случайной величины  .

Теорема может быть проиллюстрирована графиками, представленными на рис. 3.10.

Обозначим:  -  -е число из  ,  -  -е случайное число из произвольного распределения.

Рис. 3.10.  Иллюстрация к методу обратной функции Из (3.1) следует:

Моделировать равномерно распределенное случайное число  мы уже умеем. Нужно найти неизвестное  , находящееся в верхнем пределе интегрирования.

Относительно  ыражение принимает вид:

Отсюда и название - "метод обратной функции".

Пример 3.6. Получить формулу для моделирования случайных

чисел, распределенных по экспоненциальному закону, с параметром  (матожиданием  ).

Плотность  и функция  этого распределения имеют вид (рис. 3.11):

Решение

Поскольку случайная величина   имеет равномерное распределение в интервале  , как и  , то справедливо:

Примеров подобного аналитического преобразования случайного числа  в случайное число из произвольного распределения немного, так как для многих законов распределения, встречающихся в практике моделирования, интеграл (3.1) относится к неберущимся, а численные методы решения увеличивают затраты машинного времени.

Рис. 3.11.  Плотность и функция экспоненциального распределения

Поэтому в современных системах моделирования применяется приближенный метод обратной функции, основанный на кусочно-линейной аппроксимации функции распределения моделируемой случайной величины.

Суть метода заключается в следующем.

Требуемый закон распределения случайной величины размещается в памяти компьютера в виде координат функции распределения. Каждая координата состоит из случайного числа  и соответствующего значения функции распределения   :

Чем больше координат, тем точнее будет моделирование. Приемлемая точность обеспечивается заданием 20…30 координат.

При обращении за очередным случайным числом нужного закона распределения сначала генерируется случайное число из   . Это число сравнивается со значениями  .

При совпадении выдается соответствующее случайное число  .

Если нет совпадения, то случайное число  вычисляется из подобия треугольников, как показано на рис. 3.12.

Рис. 3.12.  Иллюстрация к методу кусочно-линейной аппроксимации

Из подобия треугольников ABC и AB'C' следует:

Отсюда по   находится значение  .

Значительную роль в моделировании играет случайная величина, имеющая нормальное распределение. Метод обратной функции в аналитическом виде здесь неприемлем, так как интеграл (3.1) неберущийся, а его численное решение громоздко.

Для генерации случайных чисел, подчиненных нормальному распределению, применяется метод обратной функции с кусочно-линейной аппроксимацией, а также метод, основанный на центральной предельной теореме (ЦПТ) теории вероятностей.

Как известно, ЦПТ дает теоретическое объяснение подтвержденному практикой наблюдению: если исход случайного события определяется большим числом случайных факторов, и влияние каждого фактора мало, то такой случайный исход хорошо аппроксимируется нормальным распределением. Эта теорема имеет много формулировок. Одна из наиболее практичных для целей моделирования случайных последовательностей - теорема Леви-Линдеберга.

Теорема. Случайная величина

где  - сумма   случайных чисел одного и того же распределения с матожиданием   и дисперсией   при   асимптотически стремится к нормальному распределению с   и дисперсией  .

Удобно случайные числа  брать из рассмотренного датчика . В этом случае   , .

Хорошее приближение к нормальному распределению получается уже при числе   . Каждое случайное число при   генерируется так:

Недостаток способа состоит в том, что он не экономичен, так как для генерирования одного случайного числа  требуется шесть случайных чисел из распределения  .

В ряде случаев применяют датчики с числом  . Тогда

Если датчик случайных чисел нормального распределения выдает стандартную последовательность чисел с  ,  , то пересчет на произвольное значение характеристик выполняется так:

где  - требуемое значение матожидания;

- требуемое значение среднего квадратического отклонения;

- случайное число из нормального распределения с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением  .

В современных системах моделирования имеются встроенные датчики, позволяющие непосредственного задавать нужную случайную величину с требуемыми значениями характеристик. Однако если исследователя эти возможности не удовлетворяют (например, по точности представления функции распределения вероятностей), то он может задать требуемый закон распределения самостоятельно.