Средняя арифметическая

Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Найти среднюю заработную плату Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Средняя арифметическая взвешенная

Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

Представим это в виде следующей формулы:

•  — цена за единицу продукции;

•  — количество (объем) продукции;

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Заработная плата одного рабочего тыс.руб; X	Число рабочих F
3,2	20
3,3	35
3,4	14
4,0	6
Итого:	75

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Средняя арифметическая для интервального ряда

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.

Пример 3. Определить средний возраст студентов вечернего отделения.

Возраст в годах !!х??	Число студентов	Среднее значение интервала	Произведение середины интервала (возраст) на число студентов
до 20	65	(18 + 20) / 2 =19 18 в данном случае граница нижнего интервала. Вычисляется как 20 — (22-20)	1235
20 — 22	125	(20 + 22) / 2 = 21	2625
22 — 26	190	(22 + 26) / 2 = 24	4560
26 — 30	80	(26 + 30) / 2 = 28	2240
30 и более	40	(30 + 34) / 2 = 32	1280
Итого	500		11940

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.

При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):

Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.

2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:

4.Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной величины  , т.е:

5. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число  , то средняя уменьшится на это же число  :

6.Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в   раз, то средняя также уменьшится или увеличится в  раз:

7.Если все частоты (веса) увеличить или уменьшить в  раз, то средняя арифметическая не изменится:

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая — используется в тех случаях когда известны индивидуальные значения признака   и произведение  , а частоты   неизвестны.

В примере ниже   — урожайность известна,   — площадь неизвестна (хотя её можно вычислить делением валового сбора зерновых на урожайность),   — валовый сбор зерна известен.

Среднегармоническую величину можно определить по следующей формуле:

Формула средней гармонической:

Пример. Вычислить среднюю урожайность по трем фермерским хозяйствам

Фермерское хозяйство	Урожайность ц/га (х)	Валовый сбор зерновых Ц (z = x*f)
1	18,2	3640
2	20,4	3060
3	23,5	2350
Итого		9050

Ответ: 20,1 ц/га

Гармоническая простая

В тех случаях, когда произведение   одинаково или равно 1 (z = 1) для расчета применяют среднюю гармоническую простую, вычисляемую по формуле:

Средняя гармоническая простая — показатель, обратный средней арифметической простой, исчисляемый из обратных значений признака.