7. Расход. Уравнение расхода.

Рассмотрим установившееся течение жидкости, находящейся под воздействием только одной массовой силы - веса жидкости.

Выделим в потоке струйку, такую малую, что изменением параметров в ее поперечном сечении можно пренебречь и считать их постоянными.За бесконечно малый промежуток времени Dt участок струйки 1- 2 переместится в положение 1?- 2?. Применим к этой струйке уравнение энергии, заключающееся в том, что работа сил по перемещению струйки равна приросту кинетической энергии этой струйки.Известно, что элементарная работа силы определяется выражением Работа поверхностных сил давления тогда составит

Т. к. в первом сечении направление сил давления совпадает с направлением вектора скорости, а во втором сечении оно противоположно, то    

Заметим, что работа сил давления, действующих по боковым поверхностям струйки равна 0, вследствие ортогональности векторов давления и скорости.Суммарная работа поверхностных сил определится выражением Элементарная работа массовых сил (сил веса) определяется изменением потенциальной энергии выделенного элемента массы Потенциальная энергия массы, заключенной в объеме W определяется выражением Учитывая, что для несжимаемой жидкости r= const, получим Объем, занимаемый струйкой в начальном и конечном положениях можно представить в виде двух составляющих, рис. 3.1.

Масса жидкости, заключенная в объемах W1 и W2 определится как

Т. к. приток массы в рассматриваемой струйке отсутствует, то M1 = M2 следовательно W1 = W2 Нетрудно заметить, что объем 1?-2 для рассматриваемых положений является общим, тогда   или Это выражение определяет закон сохранения массы для струйки несжимаемой жидкости.С учетом отмеченного где dG = rgdW - элементарный вес жидкости, заключенный в объеме dW. Т. е.

Применяя такой же прием, получим выражение для прироста кинетической энергии струйки Запишем уравнение баланса энергии Подставляя имеющиеся выражения в данную формулу, получим

после преобразований, с учетом того, что dW1 = dW2 =dW =dG/g, получаем или, после перегруппирования членов Это выражение и представляет собой уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости. Величина  называется скоростным напором,  определена ранее как гидростатический напор, а величина  получила название полный напор.

Рис. 3.2

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полный напор представляет собой сумму гидростатического и скоростного напора и для выделенной струйки жидкости это величина постоянная. Проиллюстрируем это положение графиком, см. рис. 3.2.

Рис. 3.3

Будем считать, что по всему поперечному сечению . Строго говоря это утверждение справедливо только для параллельных трубок тока.

Выделим в общем потоке элементарную струйку, такую тонкую, что изменением параметров в поперечном сечении будем пренебрегать. От трубки к трубке параметры потока будем считать переменными.

Введем понятие элементарной мощности потока, которая переносится элементарной струйкой dN. Известно, что , тогда ; Учитывая, что Получим , но , а ; где Q – объемный расход жидкости, а ? – удельный вес. Тогда , Мощность всего потока определится как   Пользуясь теоремой о среднем:                                     (3.1) ; ;

Подставляя в (3.1), получим                                          (3.2)   - коэффициент неравномерности потока. (3.3)

Экспериментально установлено следующее:                                                   (3.4) ??hi – суммарные потери полного напора в канале между сечениями 1 и 2. Уравнение (3.4) – это уравнение Бернулли для реальной вязкой жидкости.

развернутая форма уравнения Бернулли:   – в каждом сечении мы должны найти среднее значение V и  значение коэффициента неравномерности потока ?.