Экстремумы функции

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , включая и саму точку .

Определение 3. Точка называется точкой локального максимума, а значение функции в ней – локальным максимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство .

Определение 4. Точка называется точкой локального минимума, а значение функции в ней – локальным минимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство .

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения в них – локальными экстремумами функции.

Необходимое условие существования точек экстремума функции.

Теорема 2.1. Для того чтобы точка была точкой экстремума функции , определенной в окрестности этой точки, необходимо выполнение одного из двух условий: либо ; либо производная не существует в точке (в частности, где – бесконечно большая функция).

Такие точки называются критическими, и они являются точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия экстремума.

I. Теорема 2.2. Пусть функция , определенная в окрестности точки , непрерывная в самой этой точке и дифференцируемая в некоторой – окрестности точки . Тогда справедливы следующие заключения:

1. если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус), то – точка локального максимума функции ;

2. если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс), то – точка локального минимума функции ;

3. если во всей – окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке экстремума функции .

II. Теорема 2.3. Пусть функция , определенная в окрестности точки , имеет производные до 2-го порядка включительно. Если , то функция имеет в точке экстремум, а именно:

1. минимум, если ,

2. максимум, если .

Г еометрический смысл необходимых и достаточных условий экстремумов

y y

O x O x

Проследите за изменением производной в зоне :

I. Слева функция возрастает, т. е. . В точке . Справа функция убывает, т. е. .		I. Слева функция убывает, т. е. . В точке . Справа функция возрастает, т. е. .
II.		II.

Правило для исследования функции на экстремум при помощи первой производной (первый способ)

Для исследования функции на экстремум по первой производной следует:

1. Найти область определения функции .

2. Найти – первую производную функции.

3. Определить критические точки первого рода (к. т. I):

а) решить уравнение ,

б) а также определить те значения , при которых или не существует.

Пусть этими точками будут точки с абсциссами , которые находятся в области определения функции.

4. Все критические точки расположить в порядке возрастания их абсцисс

.

5. Внутри каждого из интервалов взять любую точку и установить в этой точке знак первой производной функции (производная сохраняет знак в каждом интервале между двумя соседними критическими точками).

6. Рассмотреть знаки в двух соседних интервалах, переходя последовательно слева направо от первого интервала к последнему. Если при таком переходе знаки в двух соседних интервалах различны, то экстремум в критической точке есть: максимум будет, если знак меняется , а минимум, если он меняется . Если же в двух соседних интервалах имеет место сохранение знака первой производной, то экстремума в рассматриваемой точке нет.

7. Найти значения функции в точках, где она достигает экстремума (экстремальные значения функции).