6.2 Опис процесу функціонування ієрархічної системи управління тк

Будемо вважати, що ТК складаються з N підсистем. Серед вихідних змінних підсистем є такі, що відображають зв'язки підсистем з навколишнім середовищем та не являються змінними взаємодії підсистем. В загальному випадку компоненти векторів X, Y, Z,U мають обмеження у вигляді нерівностей типу:

,або ,або

чи рівностей. При управлінні ТК враховуваться також проміжні ємності, мережі трубопроводів, тощо.

Як було показано вище, загальний показник функціонування ТК на часовому інтервалі , коли він має зміст технологічної скла­дової прибутку, можна представити у вигляді:

(6.6)

Таким чином, критерій ефективності ТК - адитивна функція кри­теріїв ефективності підсистем. Для кожної з підсистем критерій ефективності можна представити в вигляді:

(6.7)

де: - змінні взаємодії з η-οϊ підсистеми на і-ту;

- коефіцієнти вартості, які враховують ціни потоків Υ та U.

В процесі роботи ієрархічної системи управління визначення управляючих діянь здійснюється в дискретні моменти часу при розв'язанні підзадач першого рівня , при цьому в загальному випадку підзадачі розв’язуватися з різними періодами для різних підсистем комплексу {Pi},i=(l,N). Тоді показник ефективності можна записати в формі:

(6.8)

де: tmi - дискретні моменти часу, в які розв'язуються підзадачі .

З урахуванням дискретизації часу математичні моделі ТК часто - записують в вигляді різницевих рівнянь:

(6.9)

де: .

Δ - достатньо малий крок дискретизації часу;

у - вектор, який включає вихідні змінні підсистем: .

Опис динамічних об'єктів в кінцево-різницевій формі на сьогодні є загальноприйнятим, якщо векторна функція f неперервна разом з частинними похідними першого порядку. Використання кінце­во-різницевої апроксимації систем диференційних рівнянь, які описують неперервні процеси, приводить до задачі нелінійного програ­мування, розв'язок якої в загальному випадку може відрізнятись від розв'язку початкової задачі оптимального управління неперервним об'єктом. Виникає проблема дослідження збіжності кінцеворізницевої апрокси-мації до рішення початкової задачі.

П оказано, що збіжність траєкторії дискретної апроксимації Y(t) до траєкторії в смислі різниці векторів

при для випадку, коли U(t), Z(t) -

кусочно-неперервні функції, а вектор-функція f(Y(t), U(t), X(t), Z(t), t) задовольняє умові Ліпшиця стосовно своїх аргументів (як відомо, умова Ліпшиця входить у формулювання теореми про існування

та єдність рішень диференційного рівняння). При доказана збіжність по функціоналу, коли відсутні обмеження на координати стану і оптимальне управління в задачі різницевої апроксимації є кусочно-постійним в результаті довизначення дискретних значень

на інтервалі розв'язання задачі [0,Т].

В реальних системах оперативної оптимізації неперервних об'єктів на основі кінцево-різницевої апроксимації диференційних рівнянь, які розв'язуються зо допомогою ЕОМ, величина кроку дис­кретизації Δ завжди має кінцеве значення (Δ≠Ο), тому розв'язок за­дачі завжди наближений.

Вираз може набути більш простої форми в результаті пе­реходу від інтегралу до суми:

(6.10)

де:

(6.11)

Загальна задача оптимального управління на часовому інтервалі Τ=τ полягає в забезпеченні показника ефективності в просторі

управлінь , , , при існую­чих обмеження, оцінках збурень , , , , а також параметрах математичних моделей підсистем, які визначають розв'язок задач.

Щодо функцій f, які описують управління підсистеми та залежностей - для визначення показників ефективностей, то їх можна вважати неперервними, нелінійними в області допустимих значень, що визначаються обмеженнями , та такими, що мають не­перервні частинні похідні.

Якщо припустити, що змінні взаємодії підсистем задані, то за­гальну задачу управління ТК можна представити у вигляді множини незалежних підзадач , , оптимального

управління підсистемами ТК , . При цьому кожна із підза­дач полягає в досягненні показником ефективності екстрему­му на часовому інтервалі при існуючих обмеженнях та значеннях змінних Υ та X та оцінках збурень Ζ.

Таким чином, характерними ознаками підзадач є:

підзадачі розподілені як в просторі, так і за часом;

підзадачі можуть розв'язуватись незалежно одна від одної, якщо задано умови, викладені вище;

постановка підзадач отримана формальним шляхом на основі декомпозиції загальної задачі .

Для розв'язання загальної задачі на основі розв'язків підзадач необхідно попередньо знайти оптимальні за загальним критерієм значення змінних взаємодії підсистем, тобто розв'язати задачу координації підзадач .

Таким чином підзадачі , , та підзадача створюють двохрівневу ієрархічну структуру підзадач управління ТК в складі підсистем , :

(6.12)

Розв'язок кожної з підзадач реалізується у вигляді управлінь в моменти часу . Підзадача розв'язується при t=0 на весь часовий інтервал роботи системи , а підзадачі - відповідно в моменти , , .

Аналогічну структуру можна отримати для ієрархічної системи з числом рівнів, більшими двох.