24. Двоїста задача. Правила побудови двоїстої задачі. Симетричні й несиметричні двоїсті задачі.

Для побудови двоїстої задачі необхідно звести пряму задачу до стандартного виду. Вважають, що задача лінійного програмування подана у стандартному вигляді, якщо для відшукання максимального значення цільової функції всі нерівності її системи обмежень приведені до виду « », а для задачі на відшукання мінімального значення — до виду « ».Якщо пряма задача лінійного програмування подана в стандартному вигляді, то двоїста задача утворюється за такими правилами: 1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі. 2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості невідомих прямої задачі. 3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі — на визначення найменшого значення (min), і навпаки. 4. Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі. 5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних у цільовій функції прямої задачі. 6. Матриця

,

що складається з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, і матриця коефіцієнтів у системі обмежень двоїстої задачі

утворюються одна з одної транспонуванням, тобто заміною рядків стовпчиками, а стовпчиків — рядками.

Процес побудови двоїстої задачі зручно зобразити схематично:

Рис. 3.1. Схема побудови двоїстої задачі до прямої

Пари задач лінійного програмування бувають симетричні та несиметричні.

У симетричних задачах обмеження прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень. У несиметричних задачах деякі обмеження прямої задачі можуть бути рівняннями, а двоїстої — лише нерівностями. У цьому разі відповідні рівнянням змінні двоїстої задачі можуть набувати будь-яких значень, не обмежених знаком.

1. Необхідність використання математичного моделювання економічних процесів.

Процеси керування економічними системами дедалі усклад­нюються, тому виникла необхідність використання більш склад­них та ефективних методів, серед яких особливе місце належить моделюванню.

Моделювання дістало велике поширення та використовується в усіх галузях наукової та практичної діяльності. Теорія моделю­вання відкрила широкі можливості в дослідженні різних об'єктів та явищ, особливо це стосується економіки, та є одним із найпо­тужніших наукових методів пізнання. Тому визнано, що побудо­ва та використання моделей — головні серед засобів ефективного розв'язування завдань, які стоять перед суспільством.

Побудова моделі дає можливість дослідити існуючі зв'язки та закономірності, тобто усвідомити дійсність. Завдяки цьому вияв­ляються та усвідомлюються існуючі суперечності та неясності. З допомогою побудованої моделі більш чітко можна уявити собі структуру об'єкта, виявити важливі (суттєві) зв'язки (причини- наслідки).

Моделі успішно використовуються для прогнозування пово­дження об'єктів, процесів і явищ. Усі економіко-математичні мо­делі по суті являють собою засоби аналізу та прогнозування щодо функціонування та розвитку економічних систем.

У різних галузях науки та практичної діяльності існує потреба проводити експерименти. Проте в соціально-економічній сфері здійснювати їх неможливо або економічно неефективно. їх вигід­ніше здійснювати на ЕОМ за допомогою відповідних моделей.

Сутність моделювання полягає в заміні вихідного об'єкта йо­го «образом» — математичною моделлю — і подальшому вивчен­ні (дослідженні) моделі на підставі аналітичних методів та обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються за допомогою комп'ютерних програм. Робота не з самим об'єктом (явищем, про­цесом), а з його моделлю дає можливість відносно швидко і безбо­лісно досліджувати його основні (суттєві) властивості та пово­дження за будь-яких імовірних ситуацій (це переваги теорії). Водночас обчислювальні (комп'ютерні, симулятивні, імітаційні) експерименти з моделями реальних об'єктів надають змогу, спи­раючись на потужність сучасних математичних та обчислюваль­них методів і технічного інструментарію інформатики, ретельно та досить глибоко вивчати об'єкт, що недоступно суто теоретичним підходам (це перевага експерименту). Не дивно, що методологія математичного моделювання бурхливо розвивається, охоплюючи аналіз складних економічних і соціальних процесів.