Введение в случайные процессы

задана произвольная функция X(t, ω) = Xt(ω), принимающая значения в X. Как и ранее, с функцией Xt(ω) связаны σ-алгебры F≤t = σ(Xs, s ≤ t), F≥t = σ(Xs, s ≥ t), F[s,t] = σ(Xu, u [s, t]), FT = σ(Xt, t T ).

Предположим далее, что для любых s T è x X íà σ-алгебре F≥s задана вероятностная мера Ps,x.

Определение. Набор элементов (Xt(ω), Ps,x) называется марковским

семейством с переходной функцией P (s, x, t, A), если при любых s è x

а) случайный процесс Xt(ω), t T ∩ [s, ∞), на вероятностном пространстве (Ω, F≥s, Ps,x) является марковским, т.е.

Ps,x(BC|Xt) = Ps,x(B|Xt)P (C|Xt)

для любых s, x, t ≥ s, B F≥t, C F[s,t].

б) этот марковский процесс обладает заданной переходной функцией, иначе говоря, при любых s ≤ u ≤ t, x X, A B ï.í. ïî ìåðå Ps,x

Ps,x(Xt A|F[s,u]) = P (u, Xu, t, A).

â) Ps,x(Xs = x) = 1 (в момент s процесс выходит из точки x).

Если требование б) записать в интегральной форме, мы получим, что для любого D F[s,u]

Z

Ps,x(D ∩ {Xt A}) = P (u, Xu(ω), t, A)Ps,x (dω).

D

Возьмем D = Ω, u = s, тогда

Z

Ps,x(Xt A) = P (s, Xs(ω), t, A) Ps,x(dω).

Ω

Но поскольку в силу в) Ps,x п.н. имеем Xs(ω) = x, то подинтегральная функция равна P (s, x, t, A), следовательно,

(1) Ps,x(Xt A) = P (s, x, t, A).

Для марковских процессов многие формулировки становятся проще. Справедливо следующее

Следствие. (без доказательства). Пусть Xt(ω) функция на T ЧΩ со значениями в фазовом пространстве (X, B), Ps,x, при любых s

и x, вероянтностная мера по σ-алгебре F≥s, а P (s, x, t, A) функция, удовлетворяющая условиям 1◦ 3◦. Ïàðà (Xt, Ps,x) является марковским

семейством с переходной функцией P (s, x, t, A) тогда и только тогда,

когда конечномерные распределения Xt относительно Ps,x задаются формулой

Ps,x(Xt1 A1, . . . , Xtn An) =

Z Z Z

= P (s, x, t1, dy1) . . . P (tn−1, yn−1, tn, dyn)

A1 A2 An

ïðè s ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn. А уравнение Колмогорова-Чепмена ( 4◦) ýòî

необходимое условие согласованности такой системы конечномерных распределений.

Таким образом, можно утверждать, что если X σ-компактное

метрическое, а B = AX σ-алгебра борелевских множеств, причем P (s, x, t, A) удовлетворяет условиям 1◦ 4◦, то существует марковское

семейство (Xt, Ps,x) с заданной переходной функцией.

Теперь вернемся к операторам P st в пространствах B è V. Обозначим

через Es,x интеграл по мере Ps,x. В силу соотношения (??) и определения оператора P st â B получаем

P stf(x) = Es,xf(Xt).

Аналогично в V имеет место равенство

νP st(A) = Ps,ν(Xt A),

т.е. получается распределение Xt, если в момент s распределение было

ν, ò.å. P (Xs A) = ν(A).

Предволожим, что задано семейство операторов P st в пространстве

B, удовлетворяющих условиям 1) 6). Можно ли утверждать. что существует

марковское семейство. которому соответствует данное семейство операторов? (Точнее, можно ли представить операторы P st в интегральной форме

с функцией P (, s, x, t, A), удовлетворяющей условиям 1◦-4◦.) Оказывается, что ответ зависит от того, будет ли B = V èëè

B V.

Для конечных фазовых пространств равенство справедливо, в то время как для счетного X, пользуясь теоремой Хана-Банаха, можно

построить пример линейного функционала, не представимого в виде интеграла.

С другой стороны, если X компактное метрическое пространство,

B = AX, à C пространство непрерывных функций на X (а значит, измеримых ограниченных, т.е. C B), то любой линейный ограниченный

функционал на пространстве C представим в виде интеграла по обобщенной мере

Z

ϕ(f) = hν, fi = ν(dx)f(x),

X

причем функционалам, принимающим неотрицательные значения на неотрицательных функциях, соответствуют обычные меры, и различные

меры соответствуют различным функционалам. (Если X это отрезок

действительной прямой, то это теорема Рисса.) Таким образом, оказывается, что в этом случае V = C . Однако мы рассматриваем операторы P st

на пространстве B, т.е. вообще говоря, функции из C переводятся в B.

Необходимо наложить дополнительное условие, обеспечивающее P stC C, которое выделяет специальный класс марковских семейств,

которые называются феллеровскими.

Определение. Пусть X метрическое пространство, B = AX, C пространство непрерывных ограниченных функций. Семейство (Xt, Ps,x) называется феллеровским, åñëè P stC C при любых s ≤ t. Иначе, для любой непрерывной ограниченной функции на X функция P stf(x) непрерывна по x (ограниченность выполнена автоматически), т.е. при x → x0

ZZ

P (s, x, t, dy)f(y) → XP (s, x0, t, dy)f(y)

X g

(таким образом, требование феллеровости, касающееся лишь переходных функций, состоит в том, что меры P (s, x, t, A) слабо непрерывны по

начальной точке x).

Очевидно, что любому феллеровскому марковскому семейству соответсвует семейство операторов P st на пространстве C, удовлетворяющее условиям

1) 6). Докажем следующую теорему, показывающую, что верно и обратное утверждение.

Теорема. Пусть X компактное метрическое пространство,

B = AX (σ-алгебра борелевских множеств). Пусть, далее, на пространстве C непрерывных функций на X задано семейство операторов P st, s ≤ t,

s, t T R1, удовлетворяющих требованиям 1)-6). Тогда существует феллеровское марковское семейство (Xt, t T, Ps,x), которому соответствует данное семейство операторов.

Доказательство. Достаточно установить, что P stf(x) можно представить в виде интеграла

Z

P stf(x) = P (s, x, t, dy)f(y),

X

ãäå P (s, x, t, A) удовлетворяет условиям 1◦ 4◦ (поскольку, как было

указано выше, переходной функции соответствует марковское семейство, в силу условия P stC C семейство будет феллеровским).

44 Введение в случайные процессы

Зафиксируем s, t, x, тогда согласно 1) и 2) P stf(x) линейный функционал на C (с нормой, непревосходящей 1). Значит, он представим в виде интеграла от f по некоторой обобщенной мере, которую обозначим

P (s, x, t, ·), чтобы подчеркнуть зависимость от зафиксированных параметров.

Теперь надо доказать, что для этой функции P (s, x, t, A) условия 1◦ 4◦ выполнены.

В силу 3) это обычная мера, а в силу 4) вероятностная, т.е. 1◦

справедливо.

Условие 5) превращается в равенство P (s, x, s, A) = δx(A), ò.å. 3◦

также установлено.

Осталось проверить измеримость ( 2◦) и уравнение Колмогорова- Чепмена (4◦).

Для любого борелевского множества A имеет место равенство

Z

P (s, x, t, A) = P (s, x, t, dy)χA(y).

X

Поскольку подинтегральная функция χA разрывна, мы не можем утверждать, что интеграл является измеримой функцией x.

Пусть сначала A замкнутое множество. Положим

f(x) = e−ρ(x,A),

ãäå ρ(x, A) расстояние от точки x до множества A. Функция f(x) непрерывна, f(x) = 1 äëÿ x A, à äëÿ x / A заключена строго между 0 è 1. При любом n ≥ 1 функция fn(x) также непрерывна, поэтому и

Z

(P stfn)(x) = P (s, x, t, dy)fn(y) непрерывная,

X

а значит, измеримая функция. Очевидно, что fn(x) → χA(x) ïðè n → ∞, следовательно, по теореме о мажорируемой сходимости

Предел измермых функций измерим, т.е. для замкнутых множеств A справедливость 2◦ доказана.

Измеримость сохраняется при сложении непересекающихся множеств, вычитании из множества его части и при монотонном предельном переходе. Значит, она имеет место и для наименьшей системы множеств, замкнутой относительно указанных операций и содержащей все замкнутые множества. Так как пересечение замкнутых множеств замкнуто, то эта

система совпадает с наименьшей σ-алгеброй, содержащей замкнутые

множества, т.е. с борелевской σ-алгеброй. (Доказать эти утверждения

в качестве задачи).

Теперь проверим выполнение уравнений Колмогорова-Чепмена. Пусть, как и ранее, f(x) = e−ρ(x,A), ãäå A замкнутое множество.

В силу условия 6) P st = P suP ut имеем

XX

Переходя к пределу при n → ∞, получим

Z

P (s, x, t, A) = P (s, x, u, dz)P (u, z, t, A)

X

для любого замкнутого множества A.

Обе части указанного равенства являются мерами. Поскольку в метрическом пространстве мера любого борелевского множества может быть востановлена по ее значениям на замкнутых множествах, то равенство

метрическом пространстве и любого ε > 0 существуют такие множества F (замкнутое) и G (открытое), что

F A G è P (G \ F ) < ε.

Новый класс процессов, которые будут рассмотрены, это диффузионные процессы.

Определение. Марковский процесс Xt со значениями в фазовом

пространстве (R1, A1) и переходной функцией P (s, x, t, A) называется

диффузионным, если

1) для любых x R1 è ε > 0 равномерно по s < t

Z

P (s, x, t, dy) = o(t − s).

|x−y|>ε

2) существуют такие функции a(s, x), b2(s, x), что для любых x R1 и ε > 0 равномерно по s < t

Z

P (s, x, t, dy)(y − x) = a(s, x)(t − s) + o(t − s),

|x−y|≤ε

Z

P (s, x, t, dy)(y − x)2 = b2(s, x)(t − s) + o(t − s).

|x−y|≤ε

Функция a(s, x) называется коэффициентом сноса, à b2(s, x) коэффициентом диффузии. Нетрудно проверить, что a это урезанное условное математическое ожидание, а b2 урезанная условная дисперсия.

Задача. Показать, что достаточно требовать выполнение 1) при любом ε > 0, а 2) лишь при некотором ε0 > 0, тогда процесс диффузионный.

Оказывается, что при некоторых дополнительных условиях коэффициенты a è b полностью определяют переходную функцию процесса P (s, x, t, A).

Чтобы это понять, выведем обратное уравнение Колмогорова.

Теорема. Пусть непрерывная ограниченная функция f(x) такова, что g(s, x) = P stf(x) имеет непрерывные ограниченные производные по x 1-го и 2-го порядка, а функции a(s, x) и b2(s, x) непрерывны. Тогда существует производная функции g(s, x) по s и при s (0, t), x R1 справедливо уравнение в частных производных

lim g(s, x) = f(x).

s↑t