Введение в случайные процессы

Следствие. Пусть X = {X(t), t [a, b]} гауссовский процесс

с нулевым средним. Тогда, если существуют такие положительные постоянные c и ε, что

D(X(t + h) − X(t)) ≤ c|h|ε,

то у процесса существует непрерывная модификация.

Доказательство. Рассмотрим гауссовскую случайную величину η с параметрами (0, σ2). Тогда получим

(сделав замену переменных x/σ = y).

Òàê êàê X(t + h) − X(t) гауссовская величина с нулевым средним,

òî

Очевидно, что можно подобрать α таким образом, чтобы αε2 = 1+γ, ãäå γ > 0. Следовательно, будет выполнено условие теоремы Колмогорова.

Задача. Вычислить kα.

Так как для гауссовского процесса с нулевым средним и ковариационной функцией min(s, t) имеем D(X(t + h) − X(t)) = |h|, òî (ïðè t [0, 1])

у него существует непрерывная модификация. Значит, существование винеровского процесса на отрезке [0, 1] установлено.

Другой способ построения винеровского процесса, в витде суммы ряда, позволит осуществить такую конструкцию на [0, ∞).

Прежде всего нам понадобится одно интересное свойство гауссовской последовательности.

Лемма. Пусть {ηn} произвольная последовательность гауссовских случайных величин с Eηn = 0, Dηn = 1, тогда

√

P |ηn| = O( ln n) = 1.

(эта запись означает, что для почти всех ω существует константа

c = c(ω) и номер n0 = n0(ω) такие, что

√

|ηn(ω)| ≤ c(ω) ln n

äëÿ âñåõ n ≥ n0(ω). Заметим также, что независимость случайных величин не требуется.)

Доказательство. Äëÿ x > 0 имеем

∞∞

√

ïðè c > 2.

Применяя лемму Бореля-Кантелли, получаем требуемый результат.

Рассмотрим далее функции Хаара.

Функции Hn(t), n ≥ 0, образуют полную ортонормированную систему

â L2[0, 1], следовательно, любая функция f из этого пространства представима

â âèäå ðÿäà

∞

X

f(t) = (f, Hk)Hk(t),

k=0

где скалярное произведение (f, Hk) = R01 f(t)Hk(t) dt. Поэтому для любых f, g L2[0, 1] можно записать

∞

X

(f, g) = (f, Hk)(g, Hk).

k=0

Åñëè k меняется в указанных пределах, то у рассматриваемых фунцкий

Теперь получены все предварительные результаты для доказательства следующей теоремы.

Теорема. Пусть {ξn, n ≥ 0} последовательность независимых N (0, 1) случайных величин. Тогда ряд

∞

X

W (t) = ξnSn(t)

n=0

с вероятностью 1 сходится равномерно при t [0, 1] и задаваемый им случайный процесс является винеровским.

Предположим, что теорема доказана и получим

Следствие. Существует винеровский процесс W (t), t ≥ 0.

Доказательство. Возьмем независимые последовательности {ηk(n), k ≥ 0}n≥1, состоящие из независимых N (0, 1) случайных величин. По доказанной

теореме можно построить (независимые) винеровские процессы W((tn))

пользуясь тем, что сумма независимых нормальных величин нормальна, а функции от независимых случайных величин также независимы.

Определение. Случайный процесс {N(t), t ≥ 0} называется пуассоновским,

если выполнены следующие условия:

(1)N(0) = 0,

(2)Это процесс с независимыми приращениями.

(3)Приращение N(t) − N(s) при s < t имеет распределение с параметром λ(t − s), т.е.

P (N(t) − N(s) = k) = [λ(t − s)]k e−λ(t−s). k!

Pk

Задача. N(t) = max{k : i=1 ξi ≤ t} пуассоновский процесс,

åñëè {ξn} последовательности независимых показательных случайных величин с параметром λ.

Лекция 4

Задача. Существует ли у пуассоновского процесса модификация с неубывающими траекториями?

Задача. В каком смысле непрерывен пуассоновский процесс N(t)

Задача. Найти EN(t) è cov(N(s), N(t)).

Задача. Пусть τn = inf{t: N(t) = n}, доказать, что τ1, τ2 − τ1,

. . . , τn − τn−1, . . . последовательность независимых показательных случайных величин.

Теперь докажем теорему о конструкции винеровского процесса в виде ряда

∞

X

W (t) = ξnSn(t),

n=0

ãäå {ξn, n ≥ 0} последовательность независимых N (0, 1) случайных величин, а функции Шоудера.

O(nε) ïðè ε < 1/2, то с вероятностью 1 ряд PξnSn(t) сходится равномерно.

Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна, поэтому требование о непрерывности траекторий выполнено.

Поскольку Sn(0) = 0, ïðè âñåõ n ≥ 0, òî W (0) = 0.

Проверим, что обладает независимыми приращениями, а любое приращение W (t) − W (s), s < t гауссовское с нулевым средним и

дисперсией t − s. Для этого покажем, что

здесь 0 = t0 < t1 < · · · < tn.

Для удобства записи положим λk+1 = 0. Очевидно, что

N→∞

В силу независимости N (0, 1) случайных величин ξn последнее выражение перепишется следующим образом

N→∞

26 Введение в случайные процессы

Подсчитаем сумму ряда, стоящего в показателе.

∞ k k

Вспомним, что Sn(t) =, следовательно,

∞∞

XX

Sn(tj)Sn(tl) = (χ[0,tj], Hn)(χ[0,tl], Hn) =

= (χ[0,tj], χ[0,tl]) = min(tj, tl).

Таким образом, окончательно можно переписать сумму ряда

kk

XX

=(λj − λj+1)(λl − λl+1) min(tj, tl) =

Если траектории процесса непрерывны, то, как мы видели, поведение процесса определяется лишь тем, что о нем известно для счетного всюду плотного множества.

Простейшим требованием регулярности, причем не накладывающим никаких условий на конечномерные распределения процесса, является сепрабельность, введенная Дж. Дубом.

Определение. Процесс {Xt, t T } называется сепарабельным

относительно некоторого класса A одномерных борелевских множеств, если существует S = {tj} â T и такое множество Λ нулевой меры в Ω (P (Λ) = 0), что для любого открытого интервала I и любого A A

{ω : Xt(ω) A, t IS} \ {ω : Xt(ω) A, t IT } Λ.

Так как первое множество измеримо, являясь пересечением счетного числа измеримых множеств, то и второе множество измеримо (и меры обоих множеств совпадают).

Обычно говорят, что процесс сепарабелен, если A это класс замкнутых множеств.

Определение. Процесс называется вполне сепарабеленым , если в качестве множества сепарабельности S можно взять любое счетное

всюду плотное подмножество T .

Задача. Докажите, что для сепарабельного процесса

Задача. Пусть {Xt, t [0, 1]} сепарабельный процессс, удовлетворяющий

условию теоремы Колмогорова о существовании непрерывной модификации. Тогда

P {ω : X(t, ω) t [0, 1]} = 1,

т.е. сепарабельный процесс непрерывен сам, если у него существует непрерывная модификация.

Установим еще одно свойство траекторий процесса.

Теорема. Пусть {Xt, t T } случайный процесс, для которого P (Xs ≤ Xt) = 1 при любых s ≤ t, s, t T , T R1. Тогда существует

эквивалентный процесс, у которого почти все траектории неубывающие функции.

Доказательство. 1. Сначада покажем, что в каждой точке t T предельной для T справа (слева) существует предел по вероятности

В самом деле, возьмем

t1 > t2 > · · · > tn > . . . , ti T, i ≤ 1, tn ↓ t ïðè n → ∞.

Так как последовательность Xtn (ω) äëÿ ï.â. ω не возрастает и ограничена снизу Xt(ω), то она сходится. Обозначим этот предел Xt+ (ω). Из сходимости

P

с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности ( Xtn → Xt+ ), ïðè ýòîì Xt+ ≥ Xtn (ï.í.).

Далее, для s достаточно близких к t справа и ε > 0

P (Xt+ ≤ Xs < Xt+ + ε) ≥ P (Xt+ ≤ Xs < Xt+ + ε),

ãäå n можно выбрать сколь угодно большим. Следовательно,

P

Xs(ω) → Xt+ (ω) ïðè s ↓ t.

2. Теперь можно установить, что процесс {Xt, t T } стохастически непрерывен, кроме, может быть, счетного числа точек t T , иначе говоря,

P (Xt+ = Xt = Xt−) = 1 за исключением упомянутых точек .

Действительно, обозначим ϕ(t) = E arctg Xt (математическое ожидание существует, так как arctg ограниченная функция). Неубывающая функция ϕ(t) имет не более счетного числа точек разрыва. В точках непрерывности

0 = ϕ(t+) − ϕ(t−) = E[arctg Xt+ − arctg Xt−].

Если математическое ожидание неотрицательной случайной величины равно 0, то она равна нулю с вероятностью 1. Так как arctg строго

монотонная функция, то Xt+ = Xt− Xt лежит между ними.

3. Пусть T0 счетное всюду плотное множество, включаещее все точки, где Xt не является стохастически непрерывным. В силу счетности T0 имеем

Положим Xt äëÿ t T0. Далее, если tn T \ T0 è t предельная справа точка для точек из T0, ò.å. tn ↓ t, tn T0, положим

(

Yt, если предел сущетвует 0, в противном случае

Если точка t является предельной справа, то она предельная слева (она не может быть изолированной точкой T , все такие точки входят

â T0, иначе это множество не будет всюду плотным). Для таких точек полагаем

Очевидно, что почти все траектории Yt = 0 неубывающие.

4. Наконец, проверим эквивалентность процессов Xt è Yt = 0, t

T .

Äëÿ t T0 они совпадают по построению. Если же t T \ T0, òî Xtn → Yt

P

Xtn → Yt n → ∞ tn T0). С другой стороны, в силу стохастической

P

непрерывности Xt âíå T0 также Xtn → Xt. Таким образом,P (Xt = Yt) = 1 в силу единственности предела по вероятности. Следовательно,

Еще один подход к изучению свойств случайных процессов рассмотрение его как функции двух переменных.

Определение. Процесс {Xt, t T } называется измеримым, если множество значений параметра T измеримо по Лебегу, и функция Xt(ω) измерима по паре переменных (t, ω), ò.å.

{(t, ω) : Xt(ω) B} A × F

для любого борелевского множества B, здесь A σ-алгебра Лебеговских подмножеств T .

Справедлива следующая теорема, дающая условия измеримости.

Теорема. Пусть множество T R1 измеримо по Лебегу, а процесс X={Xt, t T } сепарабелен и существует множество T1

P (lim Xs(ω) = Xt(ω)) = 1 t T \ T1

s→t

(ò.å. âíå T1 процесс непрерывен с вероятностью 1). Тогда процесс X измерим.

Доказательство. Введем два случайных процесса Y (n) è Z(n), между которыми будет заключен процесс X. Положим

äëÿ t [ nk , (k+1)n ], t T .

Òàê êàê X сепарабелен, то Yt(n)(ω) è Zt(n)(ω) случайные величины, причем

Zt(n)(ω) ≤ Xt(ω) ≤ Yt(n)(ω).

Поскольку Yt(n) è Zt(n) (как функции t) кусочно постоянны, то процессы Y (n) è Z(n) измеримы при любом n (по паре переменных). В

силу предположения теоремы при любом t T \ T1 с вероятностью 1

имеем

Yt(n) → Xt è Zt(n) → Xt ïðè n → ∞.

Значит, процесс X измерим. В самом деле, по теореме Фубини,

если почти все (по мере Лебега) сечения некоторого множества имеют нулевую меру P , то это множество имеют нулевую меру l × P (ãäå t

меру Лебега). Таким образом, Yt(n)(ω) (è Zt(n)(ω)) при почти всех (t, ω) сходятся к общему пределу, который измерим как предел измеримых

функций.

Следствие. Винеровский процесс измерим.

Задача. Если у процесса траектории непрерывны справа (или слева), то он измерим.

30 Введение в случайные процессы

Задача. Пусть процесс Xt(ω) измерим, а τ(ω) случайная величина

со значениями в T , тогда Xτ(ω)(ω) также случайная величина.

Условия предыдущей теоремы можно ослабить. Сформулируем соответствующий результат без доказательства, которое можно прочитать в книге Дуба "Вероятностные процессы".

Теорема. Пусть {Xt, t T } случайный процесс с измеримым по Лебегу множеством T . Предположим, что существует (на том

же самом вероятностном пространстве (Ω, F, P )) сепарабельный относительно

класса замкнутых множеств измеримый процесс {Yt, t T } эквивалентный исходному. (Величины Yt могут принимать значения ±∞).

Измеримость процесса позволяет обосновать существование интегралов от траекторий.

Теорема. Пусть {Xt, t T } измеримый случайный процесс. Тогда почти все траектории являются измеримыми по Лебегу функциями t.

Если при t T существует математическое ожидание EXt, то оно определяет измеримую по Лебегу функцию t. Если A это измеримое по лебегу множество значений параметра ( A T ) и

R

A E|Xt| dt < ∞, то почти все траектории процесса интегрируемы по Лебегу на множестве A.

Доказательство. Эта теорема на самом деле является переформулировкой теоремы Фубини. Поскольку Xt(ω) это измеримая функция от (t, ω),

то (по теореме Фубини) для почти всех ω сечение X·(ω) определяет измеримую функцию от t, т.е. почти все траектории измеримы по Лебегу, а также, если EXt существует, то является измеримой функцией от t.

Второе предположение теоремы состоит в том, что конечен повторный интеграл от |Xt(ω)|, взятый сначала по ω, а затем по t A. Повторный

множестве A.

Так как величина абсолютно сходящегося повторного интеграла не зависит от порядка интегрирования, то

ZZ

E |Xt(ω)| dt = EXt(ω) dt.

AA