21. Розподіл Кочрена. Приклад критерію, що в певних умовах має такий розподіл. При перевірці яких статистичних гіпотез він використовується. Приклади.

21. Перевіримо гіпотезу , де - відповідно дисперсії генеральних сукупностей .

Альтернативна гіпотеза існує .

Для перевірки гіпотези можна скористатися критеріями Бартлетта Кочрена. Бажаніше застосувати критерій Кочрена, тому що критичні точки цього розподілу точно знайдено(див. додаткову таблицю), а розподіл Бартлетта відомий лише наближено. У нашому випадку, оскільки кількість спостережень на різних факторах однакова, можна застосувати критерій Кочрена.

Відомо, що коли правильно, кількість спостережень на всіх рівнях фактора (у нас ), то випадкова величина

має розподіл Кочрена з степенями свободи і кількістю вибірок (тут - виправлені вибіркові дисперсії на всіх рівнях–фактора).

При даній альтернативній гіпотезі критична область правобічна.

Критичну точку шукаємо за таблицею розподілу Кочрена:

Спостережуване значення критерію:

.

, отже, гіпотеза про рівність дисперсій на всіх рівнях фактора підтвердилась.

22. Розподіл Пуасона. Перевірка гіпотези про розподіл Пуасона для генеральної сукупності. Приклади.

22. Спочатку розглянемо , за якою вже побудовано дискретний варіаційний ряд, знайдемо незсунені оцінки математичного сподівання та дисперсії. Скористаємося цими результатами.

Кількість параметрів нормального розподілу (невідомих параметрів два – ). При обчисленнях замість використовуємо знайдені раніше незсунені оцінки цих числових характеристик: , .

Нульова гіпотеза: має нормальний розподіл із параметрами .

Альтернативна гіпотеза:

не має нормального розподілу із параметрами .

Для перевірки нульової гіпотези використовуємо критерій згоди Пірсона. Для цього треба числову вісь розбити на деяку кількість інтервалів, що не перетинаються, емпірична частота попадання в кожен із яких не мала. Використовуємо дискретний варіаційний ряд, який для генеральної сукупності було (Додаток Б). Вісь можна розбити згідно з розбиттям за варіантами (інтервали будуть мати вигляд , але однією з умов обґрунтованого застосування критерію згоди Пірсона є те, що інтервали, які містять малу кількість елементів, об’єднують із сусідніми, щоб у кожному з них було не менше ніж 5 елементів.

Розбиття на інтервали після такого об’єднання розташовано у двох перших стовпчиках Додатку У, об’єднані (емпіричні) частоти – у стовпчику . У результаті об’єднання кількість інтервалів .

При застосуванні критерію згоди Пірсона порівнюються емпіричні та теоретичні частоти нормально розподіленої випадкової величини. Для знаходження теоретичних частот , заповнимо наступні 4 стовпчики Додатку У. У 5-му та 6-му стовпчику підраховано відповідні значення нормованої величини . Теоретичні частоти у 7-му стовпчику є різницею значень 6-го та 5-го стовпчиків. Наступний стовпчик - стовпчик теоретичних частот, які визначаються за формули:

при великих має розподіл Пірсона степенями свободи.

Спостережуване значення критерію знайдено як суму останього стовпчика таблиці 5:

Критична область – правобічна. Критичну точку знайдемо за таблицею розподілу Пірсона:

- отже, приймається.

23. Інтервали надійності математичного сподівання нормально розподілених генеральних сукупностей, їх імовірнісний зміст. Приклади. Як впливає зміна рівня значущості на довжину надійного інтервалу. Приклади.

23. Маємо надійну ймовірність і рівень значущості . Довжина надійного напівінтервалу математичного сподівання визначається по-різному, залежно від того, відома дисперсія чи ні. Див. Додаток Р.

4.1.1 Якщо відома , використовуємо наступну формулу:

,

де знаходимо за таблицею нормального розподілу. , звідси .

Тепер знаходимо :

А) для вибірки , тому ;

Б) для вибірки , тому .

Надійний інтервал має вигляд: , або :

А) для вибірки : ;

Б) для вибірки : .

4.1.2 Якщо невідома, використовуємо наступну формулу:

,

де знаходимо за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента.

А) для вибірки : ;

;

Б) для вибірки : ;

;

Надійний інтервал має вигляд: , або :

А) для вибірки : ;

Б) для вибірки : .