Полігон частот та полігон відносних частот. Гістограма, імовірнісний зміст: а) фігури, обмеженої гістограмою, б) кривої, що з'єднує середини верхніх основ прямокутників гістограми. Приклади.
Полігон частот — один із способів графічного представлення щільності вірогідності випадкової величини. Є ламаною, сполучаючою крапки, відповідні серединним значенням інтервалів угрупування і частотам цих інтервалів.
Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки якої сполучають точки (z1, ) (z2, ), ...,(zk, ) - тобто це статистичне зображення статистичного розподілу.
Гістограми використовують для зображення винятково інтервальних варіаційних рядів. Для її побудови в прямокутній системі координат на осі абсцис відкладають відрізки, що є частковими інтервалами спостережень. На цих відрізках, як на основах, будують прямокутники з висотами, що дорівнюють частотам - абсолютним або відносним. Тобто розглядають два типи гістограм. Варто знати формальне означення гістограми. Гістограмою абсолютних частот називають ступінчасту фігуру, яка побудована з прямокутників, основою яких є інтервали групування, дов-жини h, а висоти дорівнюють .
Гістограмою відносних частот (або просто гістограмою) називають ступінчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали групування довжини h, а висота дорівнюють . Оскільки площа чергового прямокутника становить h х = , то за-гальна площа гістограми дорівнює одиниці. По суті, гістограма - це графічний статистичний аналог щільності.
Вибіркові статистики. Для чого вони вводяться і які параметри оцінюють. Приклади.
Вибіркове спостереження є найбільш поширеним видом несуцільного спостереження. При цьому обстеженню підлягає не вся статистична сукупність, а лише її певна частина, яка відбирається за відповідними правилами та представляє сукупність в цілому.
Вибіркове спостереження має суттєві переваги порівняно з суцільним: воно є більш оперативним, вимагає менше коштів та часу на підготовку та проведення. Результати вибіркового спостереження часто є точнішими, оскільки зменшуються помилки реєстрації.
До вибіркового спостереження вдаються тоді, коли проведення суцільного спостереження недоцільне або неможливе.
В процесі вибіркового спостереження вирішуються наступні завдання:
- визначається мета спостереження ;
- складається план і програма спостереження ;
- визначається вид та спосіб відбору, чисельність вибірки ;
- проведення відбору , тобто формування вибіркової сукупності ;
- реєстрація ознак ;
- розраховуються вибіркові характеристики ;
- визначаються помилки репрезентативності та поширюються результати на генеральну сукупність.
Вся сукупність одиниць, з яких виконується
відбір для подальшого обстеження,
називається генеральною сукупністю, а
її чисельність позначається N .
Частина генеральної сукупності , що
попала у вибірку має назву вибіркової
сукупності ( її чисельність позначається
n ). Відношення n/N називається часткою
відбору, а 100
n/N – процентом відбору.
Як вибіркова, так і генеральна сукупності характеризуються рядом показників, що відповідно називаються вибірковими та генеральними характеристиками. Розбіжність між ними, яка об`єктивно виникає внаслідок несуцільності спостереження, має назву помилки репрезентативності. Помилки репрезентативності, на відміну від помилок реєстрації, можна оцінити ( тобто визначити їх розмір ), що дозволяє врахувати їх при поширенні результатів вибіркового спостереження на генеральну сукупність.
Генеральні характеристики :
N – чисельність генеральної сукупності ;
–
середнє значення ознаки у генеральній
сукупності ( генеральна середня ) ;
2
– дисперсія ;
p – генеральна частка ;
2p – дисперсія альтернативної ознаки 2р = р(1- р).
Вибіркові характеристики :
n – чисельність вибіркової сукупності;
х – середнє значення ознаки у вибірковій сукупності ( вибіркова середня );
2 – дисперсія;
W – вибіркова частка ;
2w – дисперсія альтернативної ознаки 2w = W (1-W).
11. Нехай маємо вибірку х1,х2…хn.Тоді вибірковим середнім буде середнє арифметичне даної вибірки.
=
∑
=
.
Нехай — функція вибіркового розподілу. Тоді для будь-якого фіксованого функція є (невипадковою) функцією дискретного розподілу.
Вибіркове середнє — незміщена оцінка теоретичного середнього значення: .
Вибіркове середнє — строго конзистентна оцінка теоретичного середнього.
Вибіркове середнє — асимтотично нормальна оцінка. Нехай дисперсія випадкових величин скінченна і ненульова, тобто . Тоді за розподілом при , де — нормальний розподіл з середнім і дисперсією .
Вибіркове середнє з нормальної вибірки — ефективна оцінка її середнього.
Застосовується для перевірки статистичних гіпотез .
1)Перевірка гіпотези про рівність математичного сподівання гіпотетичному значенню,при вказаному рівні значущості.
2)Гіпотези про рівність математичних сподівань нормальних генеральних сукупностей Х та Х1.
3)Гіпотези про рівність математичних сподівань двох нормальних генеральних сукупностей,вибірки яких не можна вважати незалежними.
12. Дисперсія
вибірки — це середнє
арифметичне квадратів відхилень варіант
відносно
,
яке обчислюється за формулою
або
;
Дисперсія s2 є оцінка
генеральної дисперсії
.
Дисперсія S2 — це оцінка
генеральної дисперсії
.
Використовується при перевірці таких статистичних гіпотез:
1)Гіпотеза про рівність дисперсії генеральної сукупності Х гіпотетичному значення,з даним рівнем значущості.
2)Гіпотеза про розподіл генеральної сукупності .
13. Вибравши розподіл (нормальне, біномінальної, показовий або ін), виходячи з аналізу вибірки (наприклад, по вид гістограми або по виду полігону відносних частот), ми за даними вибірки повинні оцінити параметри відповідного розподілу. Наприклад, для нормального розподілу потрібно оцінити параметри m і; для розподілу Пуасона - параметр l і т.д.
Вирішення питань про "найкращою оцінкою" невідомого параметра і складає теорію статистичного оцінювання.Вибіркова числова характеристика, що застосовується для отримання оцінки невідомого параметра генеральної сукупності, називається точковою оцінкою.Наприклад, Х - середнє арифметичне, може служити оцінкою математичного сподівання М (Х) генеральної сукупності. В принципі для невідомого параметра а може існувати багато число-вих характеристик вибірки, які цілком слушно для того, щоб служити оцінками. Наприклад, середнє арифметичне, медіана, мода можуть здатися цілком прийнятними для оцінювання математичного сподівання М (Х) сукупності. Щоб вирішити, яка з статистик в даній безлічі найкраща, необхідно визначити деякі бажані властивості таких оцінок, тобто вказати умови, яким повинні задовольняти оцінки.Такими умовами є: незміщеності, ефективності спроможність.Якщо М (ã) = а, то ã називається незміщеної оцінкою а.В інших випадках говорять. Що оцінка зміщена.Незміщеності оцінки означає, що якщо використовувати цю оцінку, то в одних випадках може вийти. Що ми завищуємо шуканий параметр сукупності, в інших - занижуємо. Проте в середньому ми буде "потрапляти в ціль".Так, наприклад, незміщеної оцінкою для математичного сподівання М (Х) = а випадкової величини Х є середня арифметична = ã.