10. Спектральное разложение стационарного случайного процесса.

Пусть X(t)стационарный с.п.,k_X(τ)его корреляционная функция, интегрируемая абсолютно на (∞, +∞).

Преобразование Фурье

(8)

называется спектральной плотностьюс.п. X(t).

Корреляционная функция k_X(τ) выражается через спектральную плотность при помощи обратного преобразования Фурье

. (9)

Соотношения (8) и (9) называется формулами Винера–Хинчина.

Свойства спектральной плотности стационарного с. п.

1. четность спектральной плотности.

2. .

3. .

Из-за четности функций k_X(τ) иS_X(ω) формулы (8) и (9) можно представить в виде

(10)

(11)

11. Преобразование стационарного с.П. Стационарной линейной динамической системой.

Стационарная линейная динамическая система описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

. (12)

Введем обозначение . Тогда уравнение (12) принимает вид

.

Обозначим

, .

Функция называетсяпередаточной функциейстационарной линейной динамической системы (12). Функция называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой, аназывается амплитудно-частотной характеристикой стационарной линейной динамической системы.

Если на вход устойчивой стационарной линейной динамической системы (12) подается стационарный с.п. X(t), то в установившемся режиме на выходе будет стационарный с.п.Y(t). При этом верны следующие формулы.

1. .

2. .

3. .

4. .

Решения задач

1. Найти математическое ожидание m_X(t), корреляционную функцию К_X(t₁,t₂), дисперсию D_X(t) случайного процесса Х(t) = U sht – 3е^3t V + t², где U, V  некоррелированные случайные величины, UR(3; 3), VР(1.2).

Решение. Сначала вычислим м. о. и дисперсии случайных величин U и V: .

По свойству 2) п.2 м.о. от суммы с.п. равно сумме м.о. от слагаемых:

.

По свойству 1) п.2 м.о. неслучайной функции равно самой функции. Поэтому . По свойству 5) п.2 множитель с. п. в виде неслучайной функции выносится за знак м.о. Следовательно,

В итоге получим

Теперь найдем корреляционную функцию. По свойству 3) п. 4 прибавление к с.п. неслучайной функции t²не влияет на корреляционную функцию. Поэтому

.

Так как с.п. U sht и –3е^3t Vнекоррелированы из-за некоррелированности случайных величинU,V, то по формуле (2) получаем

.

Теперь по свойству 4) и 5) пункта 4 имеем

, .

Таким образом,

.

Дисперсию найдем по свойству 6) пункта 4:

.

2. Найти корреляционную функцию К_Z (t₁,t₂) и дисперсию D_Z (t), если X(t), Y(t) – некоррелированные с.п., Z(t) = t²X(t)  Y(t) sin2t+ cost, и даны корреляционные функции К_X (t₁,t₂) = 1+cos(t₂–t₁), К_Y (t₁,t₂) = exp(–|t₂–t₁|).

Решение. По свойству 3) п.4 прибавление к с.п. неслучайной функцииcostне влияет на корреляционную функцию. Далее, из-за некоррелированности с.п.t²X(t) иY(t)sin2t по формуле (2) имеем

.

Теперь по свойству 4) п.4 получаем

.

Дисперсию найдем по свойству 6) п.4 :

.

3. X(t), Y(t) – центрированные с. п., K_X(t₁, t₂) = 4sint₁sint₂, K_Y(t₁, t₂) = 81sint₁sint₂, K_X,Y (t₁, t₂) = 18sint₁sint₂. Найти математическое ожидание m_Z (t), корреляционную функцию K_Z (t₁, t₂), дисперсию D_Z (t), нормированную корреляционную функцию ρ_Z (t₁, t₂) случайного процесса Z(t) = sin4t + e^{– 2 t} X(t)  e^–tY(t).

Решение. Так как X(t), Y(t) – центрированные с. п., то их математические ожидания равны нулю. По свойствам 1), 2), 5) п.2 получаем

По свойству 3) п.4 прибавление неслучайной функции к случайному процессу e^{– 2 t} X(t)  e^–tY(t) не меняет его корреляционной функции, то по формуле (1) получаем

.

По свойству 4) п.4 получаем

По свойству 4) п. 5 получаем

В итоге имеем

Дисперсию найдем по свойству 6) п.4:

По определению нормированной корреляционной функции (п. 4)

.

При этом ρ_Z (t₁,t₂) =1, если , и ρ_Z (t₁,t₂) = 1, если .

4. Х(t) = ch2t – U sh2t, случайная величина UE(0.4), Y(t) = X(t). Найти математическое ожидание m_Y (t), корреляционную функцию K_Y (t₁, t₂), дисперсию D_Y (t), нормированную корреляционную функцию ρ_Y (t₁, t₂) случайного процесса Y(t), не дифференцируя X(t). Найти взаимную корреляционную функцию K_X,Y (t₁, t₂) и нормированную взаимную корреляционную функцию ρ_X,Y (t₁, t₂).

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины U:

Найдем математическое ожидание с.п. X(t)

Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)

Найдем дисперсию с.п. X(t) по свойству 6) п. 4:

По свойству 1) из п.6 получаем

По свойству 2) из п.6 получаем

Дисперсию найдем по свойству 6) п.4

Найдем нормированную корреляционную функцию

Найдем взаимную корреляционную функцию K_X,Y (t₁, t₂) по свойству 3) п.6:

Найдем нормированную взаимную корреляционную функцию:

5. X(t) = t+1+ t²U  V cos2t, где UВ(10, 0.2) ,VN(3;2) – некоррелированные случайные величины, Y(t)= 2X(t) – t²X(t). Найти математическое ожидание m_Y(t), корреляционную функцию K_Y(t₁,t₂), дисперсию D_Y(t), не дифференцируя X(t).

Решение. Сначала найдем м. о. и дисперсии случайных величин U, V:

Найдем математическое ожидание с. п. X(t)

Найдем корреляционную функцию с.п. X(t) по формуле (2)

Найдем математическое ожидание производной с. п. X(t)

Найдем корреляционную функцию производной с. п. X(t)

Найдем взаимные корреляционные функции с. п. X(t) и его производной:

Найдем математическое ожидание с. п. Y(t)

Найдем корреляционную функциюс. п. Y(t) по формуле (1)

Найдем дисперсию с. п. Y(t) по свойству 6) п. 4:

6. Дан с. п. X(t) = (t ² +1)U, U N (3, 5), Найти математическое ожидание m_Z (t), корреляционную функцию К_Z (t₁,t₂), дисперсию D_Z (t), взаимные корреляционные функции K_Z,X (t₁,t₂), K_X,Z (t₁,t₂), не интегрируя X(t).

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины U:

Найдем математическое ожидание с. п. X(t)

Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)

Найдем математическое ожидание с. п. Z(t) формуле 1) п. 7:

Найдем корреляционную функциюс. п. Z(t) по формуле 2) п. 7:

.

Найдем дисперсию с. п. Z(t) по свойству 6) п. 4:

Найдем взаимные корреляционные функции по формуле 3) п. 7:

7. Найти корреляционную функцию К_Y (t₁,t₂), дисперсию D_Y (t), нормированную корреляционную функцию ρ_Y (t₁,t₂) случайного процесса Y(t) = X(t) + Z(t), не интегрируя X(t).

Решение. Найдем дисперсию случайной величины U :

Найдем корреляционную функцию с.п. X(t)

Найдем корреляционную функциюс. п. Z(t) по формуле 2) п. 7:

Найдем взаимные корреляционные функции с. п. X(t), Z(t) по формуле 3) п. 7:

Найдем корреляционную функциюс. п. Y(t) по формуле (1):

Найдем дисперсию с. п. Y(t) по свойству 6) пункта 4:

Найдем нормированную корреляционную функцию с. п. Y(t)

При этом знак совпадает со знаком выражения

.

8. Доказать, что с. п.

, где,

стационарен в широком смысле. Проверить свойство эргодичности для м. о. и корреляционной функции.

Решение. Найдем

Проверим равенства (3) и (4) п. 8. Найдем математическое ожидание с. п. X(t):

Найдем корреляционную функцию с.п. X(t):

Таким образом, , а корреляционная функция зависит только от t₂ t₁, следовательно, с. п. X(t) стационарен ( в широком смысле).

Проверим свойство эргодичности относительно математического ожидания m_X . Пустьx(t) =ucos7t vsin7t реализация с. п.X(t). Преобразуем ее по известной формуле ,

где .

Проверим равенство (6) п. 9:

Следовательно, с. п. X(t) эргодичен относительно м. о.

Проверим свойство эргодичности относительно корреляционной функции.

что не совладает с при

Таким образом, равенство (7) п. 9 выполняется не для всякой реализации x(t) с.п. X(t), следовательно, с. п. X(t) не является эргодическим относительно корреляционной функции.

9. Дана корреляционная функция k_X (τ) = exp(3|τ|)(1+sin3|τ|) стационарного случайного процесса X(t). Найти корреляционную функцию, дисперсию производной X (t), взаимную корреляционную функцию k_{X,X } (τ).

Решение. Пусть . Тогда k_X (τ) = exp(3τ)(1+sin3τ).

По свойству 7) п. 8 имеем