21. Вариационный ряд

Вариационный ряд - последовательность x(1), x(2), x(3), ..., x(k), ..., x(n), полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин x1, x2, x3, ..., xn. Вариационный ряд обычно используется в математической статистике как основа непараметрических методов (сам вариационный ряд и его члены представляют собой так называемые порядковые статистики). Вариационный ряд служит для построения функции эмпирического распределения где µn(x) - число членов вариационного ряда, меньших x, которая является оценкой функции распределения F(x) случайных величин x1, x2, x3, ..., xn. Промежуток xнабл = [x(1) - x(n)] = [xmin_набл - xmax_набл] между крайними членами вариационного ряда называется интервалом варьирования, его длина Wn = x(n) - x(1) = xmax_набл - xmin_набл называется размахом выборки. Крайние члены вариационного ряда xmin_набл = x(1) = min{xk} для k=1...n и xmax_набл = x(n) = max{xk} для k=1...n называются экстремальными значениями. Величина x(k) называется k-й порядковой статистикой. Использование вариационного ряда для определения выборочной медианы основано на определении его центрального члена: Meнабл = x(m), где m=(n+1)/2 при нечетном n, Meнабл = (x(m)+x(m+1))/2, где m=n/2 при четном n. По функции распределения F(x) исходных случайных величин x1, x2, x3, ..., xn вычисляются распределения любого члена вариационного ряда и совместные распределения его членов.

22. Мода выборки (mode )

— это значение переменной, встречающееся чаще других. Мода представляет высшую точку распределения. Мода - хороший показатель центра распределения, если переменная имеет категориальный характер, то есть выражена номинальной или порядковой шкалой.

23. МЕДИАНА ВЫБОРКИ – ЭТО ТОЧКА, ПО обе стороны которой располагается одинаковое количество элементов выборки. Если объем выборки нечетен и равен 2n 1, то медиана равна элементу вариационного ряда с номером 2n. Если объем выборки четен и равен 2n, то медиана лежит между элементами вариационного ряда с номерами n и n 1; как правило, в таких случаях  медианой считают среднее арифметическое этих двух значений.  Медиана распределения – это точка m, определяемая аналогичным условием: вероятность того, что случайная величина примет значение, не превосходящее m, равна 1/2. Другими словами, медиана – это квантиль уровня p=0.5.  Примечания:  1. Медиана выборки является оценкой медианы распределения. 

2. Медиана является робастной оценкой центральной тенденции. СВОЙСТВО : Медиана обладает следующим замечательным свойством: сумма абсолютных расстояний между точками выборки и медианой минимальна.

27. Коэффицие́нт эксце́сса

 (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины.

Определение

Пусть задана случайная величина  , такая что  . Пусть   обозначает четвёртый центральный момент:  , а   — стандартное отклонение  . Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой:

.

Замечание

"Минус три" в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

Свойства коэффициента эксцесса

.

Пусть   — независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть  . Тогда

,

где   — коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.