Растяжение-сжатие

1. Построение эпюр продольных сил

Растяжение (сжатие) – деформация, вызванная силами, равнодействующая которых приложена в центре тяжести сечения и перпендикулярна к сечению.

Для определения внутренних усилий применяют метод «сечений».

Р ассечем брус плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, на две части.

Сечение бруса имеет две стороны. Одна сторона прилегает к участку , а другая – к участку .

При растяжении (сжатии) в каждом сечении бруса действует только один силовой фактор – продольная сила .

В нутренняя сила (рис. 2), действующая в сечении на стороне участка бруса, равна по величине и противоположна направлению силе , действующей в сечении на стороне участка бруса.

Направления сил в сечении при растяжении показаны на рис. 2 .

Продольная сила, вызывающая деформацию растяжения, направлена по внешней нормали к сечению (рис.2), где - единичный вектор нормали.

Если в сечении имеется деформация сжатия, продольная сила направлена в сторону, противоположную направлению внешней нормали, т.е. - к сечению бруса.

Правило знаков. Продольную силу, вызывающую растяжение бруса, принято считать положительной, а вызывающей сжатие – отрицательной.

Величину проекции продольной силы на ось можно определить из условий равновесия одной из частей бруса.

Поскольку все силы действуют по оси , используем уравнение равновесия, по которому сумма проекций на ось всех внешних сил и внутренней продольной силы должна быть равна нулю,

, (1)

где - номер участка бруса,

где - сумма проекций внешних сил на ось , действующих на тую часть бруса по одну сторону от сечения,

- количество внешних сил, действующих на рассматриваемую часть бруса,

- проекция продольной силы го участка на ось .

Для части 1, расположенной слева от сечения (рис.2) имеем:

, , , . Уравнение (1) примет вид: .

Следовательно, .

Знак проекции указывает направление силы: если проекция силы – положительная величина, сила направлена по оси , если проекция силы на ось – отрицательная величина, сила направлена в сторону, противоположную оси .

Поскольку величина проекции – отрицательная, сила направлена в сторону, противоположную оси , по нормали к сечению (рис.2 нормаль на участке направлена в сторону, противоположную оси ). Следовательно, она вызывает деформацию растяжения. По правилу знаков она – положительная. .

По аналогии для части бруса получим: → .

Поскольку величина проекции - положительная, направление силы на рис. 2 верно. Сила направлена по оси и по нормали к сечению, совпадающей на этом участке по направлению с осью . В сечении имеется деформация растяжения. Следовательно, .

Исследуя части бруса с двух сторон от сечения, получен одинаковый результат.

Таким образом, величина продольной силы равна:

Вывод: результат определения проекции продольной силы на ось не зависит от того, какая часть бруса выбрана (1 или 2) для решения задачи.

Задача 1. Для бруса, изображенного на рис. 3, построить эпюру продольных сил.

Способ 1.

1. Устанавливаем координатную систему в точку на конце бруса. Определяем силу реакции в заделке, используя уравнение равновесия ,

→ .

3. Проведем сечение 1-1 на расстоянии от начала координат.

Отсекаем правую часть, изображаем продольную силу, направляя вектор по внешней нормали к сечению.

Составляем уравнение равновесия для левой части бруса:

,

где - проекция на ось поперечной силы в сечении на том участке,

- сумма проекций внешних сил, действующих на часть бруса слева от сечения, на ось .

Участок 1 (сечение ) →

→ .

Участок 2 (сечение 2 - 2)

→. → .

Во всех сечениях участка 1 - проекция продольной силы на ось – положительная, следовательно, сила направлена по нормали к сечению, как и показано на рис.3, и вызывает деформацию растяжения участка 1.

Во всех сечениях второго участка - проекция продольной силы на ось – отрицательная, следовательно, сила направлена в сторону, противоположную нормали к сечению и вызывает деформацию сжатия участка 2.

Определяем знаки поперечной силы в выбранных сечениях.

Поскольку в сечении 1-1 имеется деформация растяжения продольная сила –

положительная . Поскольку в сечении 2-2 имеется деформация сжатия, продольная сила – отрицательная .

4. Строим эпюру продольных сил, откладывая по оси координату сечения, по оси - величины поперечных сил. Эпюра показывает, как изменяются внутренние усилия при переходе от сечения к сечению. Эпюру штрихуют, и на участках отмечают знак продольной силы, указывающий какой деформации они подвержены. По эпюре видно, что участок 1 растянут , а участок 2 – сжат .

Правило знаков и вводилось для того, чтобы показать на диаграмме (эпюре), какие участки бруса растянуты, а какие – сжаты.

В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре имеются скачки, равные соответственно силам, приложенным в точках , , .

Преобразуем формулу (1) к виду: (2)

Величина продольной силы может быть определена и по формуле (2):

,

Способ 2 .

1. Разбиваем брус на участки между точками приложения сосредоточенных сил.

В данном случае получим два участка: участок 1 (Уч.1) - OA, участок 2 (Уч.2) – AB.

2. Выбираем начало координат в крайней правой точке бруса.

3. Проводим произвольное сечение 1-1 на первом участке, на расстоянии от начала координат. Отбрасываем левую часть бруса, изображаем продольную силу, направляя вектор по внешней нормали к сечению, и определяем величину из уравнения равновесия для оставленной (правой) части бруса: ,

где - проекция на ось поперечной силы в сечении на том участке,

- сумма проекций внешних сил, действующих на часть бруса справа от сечения на ось ,

Участок 1 (сечение )

Уравнение (1) примет вид: → .

Во всех сечениях участка , так как внутри всего участка величина продольной силы не зависит от координаты .

Поскольку , сила направлена против оси , как и показано на рис. 4. Она совпадает по направлению с вектором нормали к сечению 1-1, следовательно, вызывает растяжение бруса. Поэтому .

Участок 2 (сечение 2 - 2) . Во всех сечениях второго участка . Поскольку проекция , сила совпадает по направлению с осью и, следовательно, направлена в сторону, противоположную вектору нормали к сечению, вызывая сжатие сечения. Величину силы по правилу знаков, принятому в сопротивлении материалов, следует считать отрицательной. Следовательно, по величине .