
- •1. Поняття про випадкові подій; неможливі; вірогідні; сумісні; несумісні подій.
- •2. Класичне визначення ймовірності, її властивості. Частість її визначення та відміна від ймовірності.
- •3.Геометричне визначення ймовірності.
- •4.Визначення ймовірності за аксіоматичним підходом.
- •5. Прості та складні випадкові подій. Простір елементарних подій. Математичні операції над подіями.
- •6. Використання елементів комбінаторики у теорії ймовірності.
- •7.Теореми додавання ймовірностей.
- •8. І теорема множення ймовірностей.
- •9. Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність.
- •15.Теорема Бернуллі (виведення)
- •16. Поняття моди у експериментах за схемою Бернуллі.
- •22. Функція Гауса її властивості і використання в схемах Бернуллі.
- •23. Функція Лапласа, її властивості і використання в схемі Бернуллі.
- •24. Випадкові величини, види та способи їх опису.
- •25. Функція розподілу ймовірностей для дискретної випадкової величини, її властивості.
- •26. Функція розподілу ймовірностей для неперервної випадкової величини, її властивості
- •27. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •28. Щільність ймовірностей, її властивості.
- •31. Математичне сподівання та його властивості для дискретної випадкової величини.
- •32. Математичне сподівання та його властивості для неперервної випадкової величини.
- •33.Диспесія та середньо-квадратичне відхилення дискретних випадкових величин.
- •34. Мода і медіана випадкової величини.
- •35. Теоретичні моменти дискретної випадкової величини. Зв'язок з іншими характеристиками.
- •36.Диспесія та середньо-квадратичне відхилення неперервних випадкових величин.
- •38. Імовірна твірна функція та її властивості.
- •39. Біноміальний закон. Числові характеристики.
- •40. Пуассонівський закон. Числові характеристики.
- •41. Гіпергеометричний закон. Числові характеристики.
- •42. Закон рівномірного розподілу на проміжку [a,b].
- •43. Пуассонівський (експоненціальний закон) розподілу неперервної випадкової величини.
- •44. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини.
- •45. Ймовірність влучення нормально розподіленої величини в заданий інтервал
- •46. Ймовірність заданого відхилення. Правило 3ᵟ
- •47. Композиція неперервних випадкових величин. Стійкість розподілу
- •48.Розподіл Хи-квадрат.
- •49. Розподіл Ст’юдента .
- •50. Розподіл Фішера – Снедекора.
- •51. Система двох дискретних випадкових величин. Числові характеристики двомірної випадкової величини.
- •52. Система двох неперервних випадкових величин. Функції розподілу f(X,y) та її властивості.
- •53. Щільність розподілу системи двох випадкових величин.
- •54. Умовні закони розподілу системи двох випадкових величин. Числові характеристики. (Умовне математичне сподівання).
- •55. Кореляційний момент (коваріація, коефіцієнт кореляції). Властивості cov xy, rxy.
- •56. Нерівність Чебишева.(доведення).
- •57. Теорема Чебишева.(доведення).
- •58. Теорема Бернуллі.(доведення).
- •59. Центральна гранична теорема.
- •60.Генеральна та вибіркова сукупність. Співвідношення чисельних характеристик.
- •61. Статистичний розподіл вибірки. Полігон, гістограмма, емпірична функція.
- •62.Вибіркова середня (арифметична), вибіркова дисперсія, середнє квадратичне відхилення.
- •63. Медіана Ме, Мода Мо*, розмах варіації, коефіцієнт варіації.
- •64. Емпіричні моменти: початковий та центральний.
- •65. Асиметрія та ексцес емпіричного розподілу.
33.Диспесія та середньо-квадратичне відхилення дискретних випадкових величин.
Дисперсією
випадкової величини
називається математичне
сподівання квадрата відхилення цієї
величини від її математичного сподівання
(середнього значення). Дисперсія
єцентральним
моментом другого порядку. [1]
Нехай
випадкова змінна
може
набувати значення
відповідно
з ймовірностями
причому
.
Дисперсія дискретної в.в.
і
називається середньо-квадратичним
відхиленням величини
від
її середнього
значення
;
Відповідно до формул з обчислення дисперсії:
,
34. Мода і медіана випадкової величини.
Модой (Мо) случайной величины х называется наиболее вероятное ее значение. Это определение строго относится к дискретным случайным величинам. Для непрерывной величины модой называется такое ее значение для которого функция плотности распределения имеет максимальную величину.
Медианой (Ме) случайной величины называется такое ее значение для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения. Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки в которой площадь под кривой распределяется пополам. Для дискретной случайной величины значение медианы зависит от того четное или нечетное значение случайной величины n=2k+1, то Ме=хк+1 (среднее по порядку значение) Если значение случайных величин четное, т.е n=2k, то Me=(xk+xk+1)/2
35. Теоретичні моменти дискретної випадкової величини. Зв'язок з іншими характеристиками.
36.Диспесія та середньо-квадратичне відхилення неперервних випадкових величин.
Дисперсія в.в. Х – це математичне сподівання квадрату відповідної центрованої величини
Дисперсія неперервної в.в.
Якщо
φ(х)=(х-mx)2;
Дисперсія в.в. є зручна характеристика розсіювання.
Недолік: розмір квадрату в.в. залишає цю характеристику без наглядності. Тому дуже часто використовується друга характеристика розсіювання: середньоквадратичне відхилення.
37. Теоретичні моменти неперервної випадкової величини. Зв'язок з іншими характеристиками.
38. Імовірна твірна функція та її властивості.
Збіжний степеневий ряд виду
(245)
називають
імовірнісною
твірною функцією,
де
,
— імовірність того, що система містить
k
вимог. Основні властивості
:
1. Оскільки
то
. (246)
2.
Оскільки
,
то
і
за х
=
1 дістаємо, що
.
З того, що
,
випливає:
. (247)
3.
Оскільки
,
то
(248)
Тоді
. (249)
39. Біноміальний закон. Числові характеристики.
Імовірності
в цьому законі визначаються за формулою
m
= 0,1,2, …, n.
Закон справджується для схеми незалежних
повторних випробувань, у кожному з яких
подія А
настає з імовірністю р.
Частота настання події А
має біноміальний закон розподілу.
Числові характеристики розподілу:
Пуасонівський закон: M(X)=a=np; D(X)=a; P(X)=a.
40. Пуассонівський закон. Числові характеристики.
Дискретна
випадкова величина має розподіл
Пуассона, якщо вона набуває зліченної
множини значень
з імовірностями
Цей розподіл описує кількість подій,
які настають в однакові проміжки часу
за умови, що ці події відбуваються
незалежно одна від одної зі сталою
інтенсивністю. Розподіл Пуассона
розглядається як статистична модель
для кількості альфа-частинок, що їх
випромінює радіоактивне джерело за
певний проміжок часу; кількості викликів,
які надходять на телефонну станцію за
певний період доби; кількості вимог
щодо виплати страхових сум за рік;
кількості дефектів на однакових пробах
речовини і т. ін. Розподіл застосовується
в задачах статистичного контролю
якості, у теорії надійності, теорії
масового обслуговування. Математичне
сподівання і дисперсія в цьому розподілі
однакові і дорівнюють а.
Для цього розподілу складено таблиці
щодо різних значень
(0,1 – 20). У таблицях для відповідних
значень а
наведено ймовірності
Якщо
у схемі незалежних повторних випробувань
n
велике і р
або 1 – р
прямують до нуля, то біноміальний
розподіл апроксимується розподілом
Пуассона, коли
Ймовірна
твірна