- •1. Поняття про випадкові подій; неможливі; вірогідні; сумісні; несумісні подій.
- •2. Класичне визначення ймовірності, її властивості. Частість її визначення та відміна від ймовірності.
- •3.Геометричне визначення ймовірності.
- •4.Визначення ймовірності за аксіоматичним підходом.
- •5. Прості та складні випадкові подій. Простір елементарних подій. Математичні операції над подіями.
- •6. Використання елементів комбінаторики у теорії ймовірності.
- •7.Теореми додавання ймовірностей.
- •8. І теорема множення ймовірностей.
- •9. Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність.
- •15.Теорема Бернуллі (виведення)
- •16. Поняття моди у експериментах за схемою Бернуллі.
- •22. Функція Гауса її властивості і використання в схемах Бернуллі.
- •23. Функція Лапласа, її властивості і використання в схемі Бернуллі.
- •24. Випадкові величини, види та способи їх опису.
- •25. Функція розподілу ймовірностей для дискретної випадкової величини, її властивості.
- •26. Функція розподілу ймовірностей для неперервної випадкової величини, її властивості
- •27. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •28. Щільність ймовірностей, її властивості.
- •31. Математичне сподівання та його властивості для дискретної випадкової величини.
- •32. Математичне сподівання та його властивості для неперервної випадкової величини.
- •33.Диспесія та середньо-квадратичне відхилення дискретних випадкових величин.
- •34. Мода і медіана випадкової величини.
- •35. Теоретичні моменти дискретної випадкової величини. Зв'язок з іншими характеристиками.
- •36.Диспесія та середньо-квадратичне відхилення неперервних випадкових величин.
- •38. Імовірна твірна функція та її властивості.
- •39. Біноміальний закон. Числові характеристики.
- •40. Пуассонівський закон. Числові характеристики.
- •41. Гіпергеометричний закон. Числові характеристики.
- •42. Закон рівномірного розподілу на проміжку [a,b].
- •43. Пуассонівський (експоненціальний закон) розподілу неперервної випадкової величини.
- •44. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини.
- •45. Ймовірність влучення нормально розподіленої величини в заданий інтервал
- •46. Ймовірність заданого відхилення. Правило 3ᵟ
- •47. Композиція неперервних випадкових величин. Стійкість розподілу
- •48.Розподіл Хи-квадрат.
- •49. Розподіл Ст’юдента .
- •50. Розподіл Фішера – Снедекора.
- •51. Система двох дискретних випадкових величин. Числові характеристики двомірної випадкової величини.
- •52. Система двох неперервних випадкових величин. Функції розподілу f(X,y) та її властивості.
- •53. Щільність розподілу системи двох випадкових величин.
- •54. Умовні закони розподілу системи двох випадкових величин. Числові характеристики. (Умовне математичне сподівання).
- •55. Кореляційний момент (коваріація, коефіцієнт кореляції). Властивості cov xy, rxy.
- •56. Нерівність Чебишева.(доведення).
- •57. Теорема Чебишева.(доведення).
- •58. Теорема Бернуллі.(доведення).
- •59. Центральна гранична теорема.
- •60.Генеральна та вибіркова сукупність. Співвідношення чисельних характеристик.
- •61. Статистичний розподіл вибірки. Полігон, гістограмма, емпірична функція.
- •62.Вибіркова середня (арифметична), вибіркова дисперсія, середнє квадратичне відхилення.
- •63. Медіана Ме, Мода Мо*, розмах варіації, коефіцієнт варіації.
- •64. Емпіричні моменти: початковий та центральний.
- •65. Асиметрія та ексцес емпіричного розподілу.
1. Поняття про випадкові подій; неможливі; вірогідні; сумісні; несумісні подій.
Результат, результат випробування називаються подією. Подіями є: випадання герба або цифри, взяття білого або чорного кулі, поява того чи іншого числа очок на кинутої гральної кістки. Для позначення подій використовуються великі літери латинського алфавіту: А, В, С і т. д. Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншого в одному і тому ж випробуванні. Приклад 1. Випробування: одноразове кидання гральної кістки. Подія А - поява чотирьох очок. Подія В - поява парного числа очок. Події А і B - сумісні. Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншого в одному і тому ж випробуванні. Приклад 2. Випробування: одноразове кидання гральної кістки. Нехай події - відповідно випадання одного очка, двох, трьох, чотирьох, п'яти, шести. Ці події є несумісними. Дві події А і називаються протилежними, якщо в даному випробуванні вони несумісні і одне з них обов'язково відбувається. Приклад 3. Випробування: кидання монети. Подія А - випадання герба, подія - випадання цифри. Подія називається достовірним, якщо в даному випробуванні воно є єдино можливим його результатом, і неможливим, якщо в даному випробуванні воно явно не може відбутися. Приклад 4. Випробування: вилучення кулі з урни, в якій всі кулі білі. Подія А - виймуть біла куля - достовірне; подія В - виймуть чорна куля - неможливе. Подія А називається випадковим, якщо воно об'єктивно може наступити або не наступити в даному випробуванні. Приклад 5. Подія - випадання шести очок при киданні гральної кістки - випадкове.Воно може і не настати в даному випробуванні.
2. Класичне визначення ймовірності, її властивості. Частість її визначення та відміна від ймовірності.
Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій : P(A)= m /n. З визначення ймовірності випливають такі її властивості: Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.В цьому випадку m = n, отже, Р(A)= m / n = n / n = 1. Властивість 2. Ймовірність неможливого події дорівнює нулю. Дійсно, якщо подія неможливо, то жоден з елементарних результатіввипробування не сприяє події. В цьому випадку m = 0, отже, Р(А) = m / n = 0 / n = 0.
Властивість 3. Імовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею. В цьому випадку 0 <m <n, значить, 0 <m / n <1, отже, 0 <Р(А) <1. Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійному нерівності
0 <= Р (A) <1.
Частота випадкової події. Нехай простір елементарних подій. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Повторимо експеримент n раз. Позначимо через Kn(А) - число експериментів, в яких відбулася подія А . Частотою подій А називається відношення
.Частота може бути обчислена лише після того, як проведена серія експериментів, і, взагалі кажучи, частота змінюється, при переході від однієї до інщої серії з n експериментів, або з зміною n. Але, як показує досвід, при достатньо великих n для більшості таких серій експериментів частота зберігає майже постійну величину, причому великі відхилення спостерігаються тим рідше, чим більше n.