8. І теорема множення ймовірностей.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Імовірність одночасного настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(1)

Імовірність появи деяких подій, незалежних у сукупності, обчислюється за формулою:

(2)

9. Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність.

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(A B) / P(B), P(B) 0. Властивості умовної ймовірності:

1. P(A/B)=0, якщо =

2. P(A/B)=1, якщо =B

3. у решті випадків 0<P(A/B)<1.

(3)

10. ІІ теорема множення ймовірностей.

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Імовірність одночасного настання двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності настання однієї з них на умовну ймовірність другої:

11. Ймовірність появи хоча б раз при n незалежних спробах.

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:

12. Теорема Байеса (гіпотеза)

Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

13. Формула повної ймовірності.

Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:

де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

14.Незалежні спроби. Методи проведення статистичних випробувань.

15.Теорема Бернуллі (виведення)

Імовірність однієї складної події, яке полягає в тому, що в n випробуваннях подія А настане рівно k разів і не настане n - k разів, за теоремою множення незалежних подій дорівнює  . Таких складних подій може бути стільки, скільки можливо скласти комбінацій з n елементів по k елементам, тобто  . Так як ці складні події несумісні, то за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складних подій. Так як імовірності всіх цих складних подій однакові, то шукана ймовірність (поява k разів події А в n випробуваннях) дорівнює ймовірності однієї складної події, помноженої на їх кількість:

16. Поняття моди у експериментах за схемою Бернуллі.

В деяких задачах виникає необхідність знаходити найімовірніше число появи випадкової події (мода). Тобто це таке число появи випадкової події А в результаті незалежних експериментів за схемою Бернуллі - m_o, для якого ймовірність Р_n(m_о) перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих ймовірностей Р_n(m) наслідків експериментів.

Зауважимо, що для визначення найімовірнішого числа появи події немає потреби обчислювати ймовірності для різних можливих значень m (0 ≤ m ≤ n). Щоб набути це число, розглянемо відношення:

 

Якщо послідова ймовірність Р_n(m + 1) більше попередньої Р_n(m), то - це відношення не менше одиниці; якщо Р_n(m + 1) £ Р_n(m), то не більше одиниці. Таким чином маємо

 

 

і тоді m_o ³ np - q, а якщо

 

 

тоді m_o ³ np + р.

Якщо об'єднати ці нерівності, дістанемо:

np -q ≤ m_o ≤ np +р.Число m_o називають також модою.

17. Локальна теорема Мавра-Лапласа.

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.

18. Інтегральна теорема Лапласа.

Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

—функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

19. Теорема Лапласа для відхилення частоти появи події від моди.

20. Теорема Лапласа для відхилення ймовірностей від частоти.

21. Формула Пуассона для малоймовірних подій.

Точність асимптотичних формул для великих значень n- числа повторних незалежних експериментів за схемою Бернуллі – знижується з наближенням p- до нуля .Тому при n → R,

p- 0 за умови np=a=const імовірність появи випадкової події m раз

(0<=m <=n),обчислюється за такою асимптотичною формулою:

Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , а n велике, то