3. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Пусть проведена выборка объема n. Выборочной средней или статистическим математическим ожиданием называется среднее арифметическое значений выборки: _в =М*= ; если варианты имеют частоты, то _в =М*= *, где p_i*= - статистическая вероятность или относительная частота.

В некоторых случаях выборочные значения случайной величины целесообразно разбивать на отдельные группы. В каждой группе можно найти ее среднюю. Групповой средней называют среднее арифметическое значений выборки, принадлежащих группе. По этим групповым средним можно найти среднее для всей выборки. Общей средней называют среднее арифметическое значение групповых средних.

Для характеристики рассеивания выборочных значений относительно выборочного среднего вводится понятие выборочной дисперсии. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего: D*=d_в = ^{2 (скобка в квадрате)}; если значения выборки имеют частоты, то D*=d_в = ^{2 (скобка в квадрате)} = ²p_i

Выборочным средним квадратичным отклонением называется арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии: .

4. Cтатистическое оценивание числовых характеристик. Несмещенность.

Одной из центральных задач математической статистики является задача оценки теоретического распределения случайной величины на основе выборочных данных. Предполагается, что закон распределения генеральной совокупности известен, но неизвестны его параметры, например математическое ожидание и дисперсия. Требуется найти значения этих параметров, т. е. получить их статистические оценки.

Обозначим θ* оценку некоторого теоретического параметра θ закона распределения случ. величины Х. Рассматривая выборочные значения х₁, х₂, …х_n как реализации случ. величин Х₁, Х₂, …Х_n , получивших конкретные значения в результате опытов, можно представить оценку θ* как функцию этих случ. величин: θ*= f(Х₁, Х₂, …Х_n). Это значит, что оценка тоже является случ. величиной. Если для оценки взять несколько (k) выборок, то в общем случае получим столько же разных случ. оценок: θ*₁, θ*₂, …θ*_k. Математическое ожидание случ. величины θ*, имеющей отмеченные реализации, может как совпасть, так и не совпасть с оцениваемым параметром θ.

Несмещенной называется статистическая оценка θ *, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру: М(θ*)= θ.

5. Точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней. Ее несмещенность.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом из результатов выборки.

Пусть дана выборка: х₁, х₂, …х_{n .} Будем рассматривать выборочные значения как реализации случ. величин Х₁, Х₂, …Х_n , одинаково распределенных по закону распределения генеральной совокупности, т. е. случайной величины Х. Это означает, что они имеют одно и то же математическое ожидание М_х и дисперсию σ_х².

Математическое ожидание среднего арифметического случ. величин Х₁, Х₂, …Х_n, т. е. математическое ожидание выборочного среднего ( ) как случ. величины, : М( ) = . Таким образом, выборочная средняя является несмещенной оценкой.