§ 1. Модели временных рядов

Понятие временного ряда. Трендовые модели

Наиболее распространенными формализованными методами прогнозирования являются эстраполяционные, а модели временных рядов — один из наиболее распространенных видов экстраполяци-онных прогнозных моделей. Временной ряд — это последователь­ность упорядоченных во времени числовых показателей, характери­зующих уровень состояния и изменения изучаемого явления. Уро­вень временного ряда — значение показателя, динамика которого во времени отображена в виде временного ряда, в рамках ряда.

Временные ряды различаются по следующим признакам.

По времени можно обозначить моментные и интервальные временные ряды. Интервальные временные ряды — последователь­ности значений, в которых уровни ряда относят к результату, нако­пленному или вновь достигнутому за определенное время (напри­мер, объемы производства продукции промышленности по меся­цам). Моментный ряд содержит значения показателя на опреде­ленный момент времени, на конкретную дату, момент (например, поголовье крупного рогатого скота на начало года). Показатели ин­тервального ряда вполне могут суммироваться. Сумма значений показателей моментного ряда обычно не рассчитывается: часто она не имеет реального содержания и практического смысла.

По форме представления уровней ряда выделяют ряды аб­солютных, относительных и средних величин.

118

По расстоянию между датами или интервалами време­ни — полные и неполные временные ряды. Полные ряды вы­строены с равными промежутками между значениями, в неполных принцип равенства периодов времени между уровнями ряда не со­блюдается.

По содержанию показателей выделяют ряды частных и агрегированных показателей. Частные показатели характеризуют один конкретный частный признак изучаемого явления. К рядам частных показателей относится, например, временной ряд погодо-вых значений показателя выпуска студентов вузами страны. Агре­гированные показатели основаны на частных и характеризуют изу­чаемое явление комплексно. Примером агрегированного показателя можно считать индекс инфляции, индекс физического объема про­изводства промышленной продукции.

Обычно прогнозирование на основе временных рядов осущест­вляется с помощью изучения и экстраполяции временного тренда. Простая трендовая модель динамики на основе временных рядов показателя — это уравнение тренда с указанием начала отсчета единиц времени. Прогноз по этой модели заключается в подстанов­ке в уравнение тренда номера периода, который прогнозируется.

Определение параметров уравнения тренда может осуществ­ляться практически теми же методами, что и для уравнений регрес­сионной зависимости, активно используемых в эконометрическом моделировании (парная регрессия), поскольку математически форма уравнений одинакова. Только место факторной переменной занимает фактор «период». Наиболее часто используемый сегодня метод — метод наименьших квадратов (МНК). Нелинейные разновидно­сти уравнений тренда могут быть сведены к линейным, что также позволяет использовать для определения их параметров МНК. Но при этом нужно помнить, что ряд значений показателей времени должен соответствовать типу тренда. Например, для прямолинейного тренда дискретный ряд показателей времени начинается со значения 1 и продолжается по порядку: 2, 3, 4 и т. д. Для иных видов тренда последовательность значений времени может быть и иной (напри­мер, для логарифмического уравнения тренда нумерация может на­чинаться не с 1, а с другой цифры, скажем, 4 или 5, что связано с математическими особенностями логарифмического выражения).

119

Среди разновидностей моделей на основе временных рядов можно выделить:

1) модели собственно тренда:

Y(f) = T(f) + s_t,

где T(t) — временной тренд заданного вида (например, линейный T(t) = a + bxt; e_t — стохастическая (случайная) компонента;

2) модели сезонности:

Y(t)=S(t) + e_t,

где S(t) — периодическая (сезонная) компонента; e_t— стохасти­ческая (случайная) компонента;

3) модели тренда и сезонности:

Y(t)=T(t) + S(t) + e_t, аддитивная («дополняющая»),

Y(t) = T(t)xS(t)+e_t, мультипликативная («множительная»),

где T(t) — временной тренд заданного вида; S(t) — периодиче­ская (сезонная) компонента; e_t — стохастическая (случайная) ком­понента.

К моделям временных рядов относится множество более слож­ных моделей, таких как модели адаптивного прогноза, модели ав­торегрессии и скользящего среднего (ARIMA) и др. Их общей чер­той является объяснение поведения показателя во времени, исходя только из его предыдущих значений. Такие модели могут приме­няться, например, для прогнозирования объемов производства, объ­емов продаж, краткосрочного прогноза процентных ставок и т. п.

Разновидности уравнений временного тренда

Далее характеризуются наиболее распространенные и простые математические формы отображения тренда. Их набор вполне дос­таточен для отображения большинства из встречающихся тенден­ций временных рядов. При этом желательно из всех возможных уравнений тренда выбирать простейшее, что обусловлено простым правилом: чем сложнее уравнение тренда, тем сложнее гарантиро­вать надежность оценок, тем потенциально выше опасность ошибок.

120

Самым простым типом линии тренда является прямолиней­ный тренд, описываемый уравнением первой степени:

у, =a+bxt,,

где ŷi —выравненные уровни тренда по периодам (моментам) i; а — свободный член уравнения, численно равный среднему уров-ню для периода (момента) t_t = 0; b — средняя величина изменения уровня ряда за один период (момент) времени; t_t — номера перио-дов (моментов) времени, к которым относятся соответствующие уровни временного ряда.

Этот тип тренда подходит для отображения примерно равно-мерных пропорциональных изменений уровней ряда. Практика по-казывает, что такая динамика встречается довольно часто. Знак па-раметра b показывает направленность изменений: отрицательный знак говорит о тенденции убывания.

значения

уровней

ряда,

У

время, t Рис. 5. Прямолинейный тренд

тенденция, выраженная полино-

Параболический тренд

мом (параболой) 2-го порядка:

у_{ =а₀+а₁х t_t +a₂x t² .

Полиномы более высоких порядков (3-го и выше) значительно реже применяются для выражения тенденций динамики, поскольку гораздо сложнее с точки зрения получения надежных оценок.

121

В уравнении тренда а_х — это средний за весь изучаемый пе­риод прирост, который изменяется равномерно с ускорением, рав­ным а₂. Последнее (ускорение) и служит собственно константой выражения.

Тренд в форме параболы используется для отображения тен­денций, которым свойственно примерно постоянное ускорение аб­солютных изменений уровней. Такие случаи сравнительно более редки, чем линейные процессы, но, с другой стороны, любое откло­нение от линейного роста можно интерпретировать как наличие ускорения. Подобными характеристиками могут обладать, напри­мер, приросты производства продукции отраслями экономики в фа­зе циклического подъема экономической конъюнктуры.

значения

уровней

ряда,

У

время, t

Рис. 6. Параболический тренд

Относительно статистики, трендом можно обычно считать только одну из ветвей параболы (обычно правую). В более кон­кретных ситуациях, тем не менее, возможно и объединение обеих ветвей в единый тренд.

Характер тренда определяется знаками а_{ и а₂ (величина а₀ обычно всегда положительна):

• а₁ > 0 и a₂ > 0 — восходящий тренд;

• a ₁ < 0 и a₂ < 0 — нисходящий тренд;

• a ₁ > 0 и a₂ < 0 означает либо восходящий тренд с замедляю­щимся ростом уровней (одна ветвь параболы), либо обе ветви, ко­гда их можно считать одной тенденцией;

122

— Oj < 0 и а₂ > О означает либо нисходящий тренд с замедляю-щимся ростом уровней (одна ветвь параболы), либо обе ветви, ко-гда их можно считать одной тенденцией.

Экспоненциальный тренд характеризуется выражением:

у_{ =ахк'', или в форме у_{ = expflna + lnkt_t].

Основной параметр к является постоянным цепным темпом из-менений уровней. Если к > 1, имеет место тренд с возрастающими уровнями, а равно с возрастающим ускорением роста и возрастаю-щими производными всех более высоких порядков. Если к<\, име­ет место тенденция постоянного, но замедляющегося убывания.

Экспоненциальный тренд описывает процессы, развивающиеся в условиях отсутствия значимых ограничений изменения уровня. Уровни тренда представляют собой геометрическую прогрессию. Очевидно, что обычно он имеет место на ограниченных отрезках времени.

значения

уровней

ряда,

время, t Рис. 7. Экспоненциальный тренд Основное выражение гиперболического тренда:

Ъ

y_t =a + — . t_i

Свободный член уравнения, таким образом, — это предел, к которому стремятся уровни ряда. Такая тенденция характерна для процессов, демонстрирующих тенденцию к замедляющемуся снижению значений показателя, которые, однако, не могут умень-

123

шиться более некоторого нижнего значения. Например, такими свойствами могут обладать тенденции снижения затрат на произ­водство. В случае Ъ < О с течением времени уровни тренда, наобо­рот, возрастают, стремясь к а.

значения

уровней

ряда,

У

время, t

Рис. 8. Гиперболический тренд

Если изучаемый и прогнозируемый процесс приводит к замед­лению роста показателя, но не вызывает прекращения роста, то вполне адекватным отображением тенденции может стать уравне­ние логарифмического тренда:

у_{ = a+bxlnt_t.

значения

уровней

ряда,

У

Рис. 9. Логарифмический тренд

124

Подбирая начало отсчета периодов, можно найти такую ско­рость изменений, которая наиболее точно отвечает фактическому временному ряду.

Логистическая форма уравнения тренда подходит для описания процесса, когда изучаемый показатель проходит полный цикл раз­вития, начиная от нижнего (как правило, нулевого) уровня, снача­ла медленно с ускорением возрастая, после чего тенденция стано­вится приблизительно прямолинейной. В завершающей части цикла рост замедляется по гиперболе по мере приближения к пределу. В некоторых зарубежных прикладных пакетах статистического анализа логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно считать логисту объединением сразу трех видов тенден­ций: парабола — прямая — гипербола. Но есть и доводы за рас­смотрение логистического тренда как самостоятельного. Его выделе­ние позволяет уже на первом этапе определить всю траекторию раз­вития явления, выяснить сроки перехода от ускоренного роста к за­медленному, что может оказаться весьма важным для прогноза.

значения

уровней

ряда,

У

время, t

Рис. 10. Логистический тренд

При изменении уровней от нулевого уравнение тренда по ло­гисте имеет вид:

1

Уг

.

ea₀ +a₁t_i +1

При а₀ > О и а-i < 0 с ростом номера периодов времени будет иметь место тенденция роста уровней. Если нужно начать рост поч-

125

ти с нуля, то должно быть а₀ ~ 10. Чем больше будет модуль а_ъ тем быстрее будут возрастать уровни. При а_{ < 0 и а₂ > 0 имеет место тренд снижения уровней ряда, если нужно начать снижение почти от 1, то должно быть а₀ ~ -10. Чем больше будет а_ъ тем быстрее бу­дут снижаться уровни.

Если диапазон изменения уровней ограничен не нулем и еди­ницей, а обозначенными, исходя из условий, y_msx и у^_п, то формула логистического тренда примет вид:

- _ .Углах ~Утт , ^Уг ~ _еЯо+аЛ +1 ^Утт'

Графическое отображение во многих случаях позволяет при­ближенно выявить тип уравнения, наиболее адекватный тенденции временного ряда. Но при этом следует соблюдать некоторые прави­ла построения графика. Требуется точное соблюдение масштаба как по величине уровней ряда, так и по шкале времени. Время от­кладывается обычно по оси абсцисс, величины уровней — по оси ординат. По каждой оси следует установить такой масштаб, чтобы ширина графика была примерно в 1,5 раза больше его высоты. Ес­ли уровни ряда различаются в десятки, сотни, тысячи раз, ось ор­динат имеет смысл разместить в логарифмическом представлении, равные отрезки будут означать различие уровней в одинаковое число раз. Тогда изменится и интерпретация графика: при линей­ном масштабе прямая будет означать прямолинейную тенденцию, при логарифмическом — экспоненту. Нужно соблюдать равенство величин, отображающих время на горизонтальной оси, тут лога­рифмическая шкала не рекомендуется, это значительно осложнит прочтение графика.

Но графический метод не всегда дает хороший результат. На­пример, таким путем трудно бывает отличить параболу от экспо­ненты, логарифмическую кривую от гиперболы и т. д. Хотя специа­лизированные прикладные программные пакеты значительно об­легчают анализ, в них нередко встроены средства быстрого расчета и нанесения на график линии тренда в соответствии с различными предположениями о его характере (например, нанесение линии тренда на диаграммы в MS Excel). Кроме того, не всегда вариант уравнения тренда, «лучший» внешне, является лучшим с аналити­ческой и статистической точек зрения. Поэтому имеет смысл ис-

126

пользовать и иные методы определения типа уравнения тренда: ме­тод последовательных разностей, МНК (выбор уравнения тен­денции, дающего наименьшую сумму квадратов отклонений) и др.

Особенности прогнозирования на основе трендовых моделей

Трендовое прогнозирование обладает следующими свойствами:

• для крупных сложных объектов и систем, имеющих боль­шую инерционность развития, прогноз по тренду, выявленному на базе изучения предыдущего развития, как правило, вполне реален и надежен;

• выясненные параметры тренда (т. е. константы аппроксими­рующих тренд выражений) должны быть статистически надежны, что достаточно легко проверить. Если они не надежны, то ненаде­жен и прогноз;

• срок упреждения прогноза должен быть не более половины периода основания прогноза (лучше — не более трети). То есть, если период основания прогноза, в рамках которого изучалась тен­денция явления, составляет, скажем, 30 лет, то возможный период упреждения — 10-15 лет максимум.

У прогнозирования на базе временных рядов с помощью выяс­ненной тенденции развития есть некоторые преимущества перед другими методами прогнозирования, есть и недостатки.

Уравнение тренда имеет преимущества перед «обычной» стати­стической регрессией по потенциальной ширине охвата факторов, влияющих на динамику изучаемого явления. Коэффициент при но­мере периода в уравнении тренда — это комплексный коэффици­ент регрессии при всех реальных факторах, влияющих на уровень изменяющегося показателя, которые сами изменяются во времени. «Обычная» регрессия (которая, кстати, составляет основу экономет-рических моделей) позволяет учесть только часть факторов, влия­ние остальных «списывается» на ошибку регрессии.

Второе преимущество состоит в том, что уравнение тренда есть модель динамики процесса, и на ее основании мы прогнозируем динамику, т. е. логическая основа тренда соответствует задаче. На­против, уравнение многофакторной регрессии — это модель вариа­ции уровня показателя в статической совокупности. Логическая ба­за прогноза по многофакторной регрессии в статике не совсем аде­кватна задаче прогнозирования.

127

Последнее, хотя и не очень существенное, преимущество про­гноза по тренду заключается в том, что для него не требуется большого объема исходной информации о факторах, как для мно­жественной регрессии. Достаточно однородного по характеру тен­денции периода, допустим, за 20-25 лет.

Но прогноз на основе временного тренда может не давать кор­ректных результатов в случае высокой нестабильности объекта предсказания. Нет возможности проигрывать разные варианты про­гноза при разных сочетаниях значений факторов, что обычно дела­ется при прогнозе по регрессионной модели с управляемыми фак­торами (т. е. сделать прогноз действительно вариативным). Кроме того, наилучшие результаты трендовое прогнозирование дает на от­носительно коротких периодах упреждения (краткосрочный, если по годам — среднесрочный прогноз).

Прогноз производится по такому общему алгоритму:

1. упорядочение прошлых данных;

2. сглаживание временного ряда;

3. выделение тренда;

4. определение уравнения тренда;

5. расчет прогнозного значения;

6. оценка доверительного интервала с заданной вероятностью. В процессе выяснения тренда показателя может потребоваться

учет повторяющихся колебаний в рамках самой основной тенден­ции, своего рода тренда внутри тренда. В данном случае речь идет о периодической колеблемости неслучайного характера, например о сезонности. В этом случае трендовую модель имеет смысл допол­нить до модели тренда и сезонности.

Такую коррекцию можно провести с помощью индексов сезон­ности. Сезонность — явление, имеющее обычно ежегодную повто­ряемость. Для ее определения желательно проанализировать дан­ные по 7-ми — 10-ти периодам, в которых имеет она место. Можно обойтись и меньшим числом периодов (например, лет), но тогда достоверность наличия выявленной закономерности снижается.

Можно рассчитывать индексы сезонности как частное от деле­ния отдельных уровней ряда на средний по всему ряду, для которо­го определяется сезонность, уровень. Например, сезонность в рамках года определима индексами, получаемыми в результате деления

128

месячных уровней на среднемесячное значение уровня ряда за весь год. Умножение на 100 даст величину индекса в процентах.

Возможен и расчет сезонных индексов с использованием весов. Тогда используется несколько иной алгоритм расчетов. Обратимся к примеру расчета квартальной сезонности в течение года на осно­ве помесячных данных за несколько лет:

1) определяются индексы сезонности путем соотнесения эмпи­ рических данных (у,) с рассчитанными по уравнению тренда (у;) для сезона (месяц):

_{!<* = ¥-;}

Уг

2. рассчитываются средние значения уровня ряда y_i за периоды, для которых предполагается тенденция сезонности (в данном приме­ре — по годам), достаточно средней арифметической простой;

3. определяется средневзвешенное значение индекса сезонно­сти (Icj ) для каждого уже укрупненного периода времени — соб­ственно сезона (квартал). Роль весов играют средние значения уровней ряда для годов, рассчитанные ранее, где I_ci — индексы сезонности по месяцам:

1с

ЦУг

Далее модель тренда преобразуется в мультипликативную мо­дель тренда и сезонности: значения ряда, рассчитанные по тренду, домножаются на соответствующий сезону индекс сезонности.

Учет периодической колеблемости может осуществляться и иными способами (например, на основе рядов Фурье).