- •Игровые модели и принятие решений
- •Введение
- •Запись матричной игры в виде платёжной матрицы
- •Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях
- •Занятие 2
- •Уменьшение порядка платёжной матрицы
- •Занятие 3
- •Пример решения матричной игры в чистых стратегиях
- •Решение задачи
- •Тема 2 Смешанные стратегии в матричных играх
- •Занятие 4
- •Понятие о матричных играх со смешанным расширением
- •Решение матричных игр со смешанным расширением методами линейного программирования
- •Занятие 5
- •Пример решения матричной игры со смешанным расширением
- •Решение задачи
- •Тема 3 Принятие решения в условиях неопределённости
- •Занятие 6
- •Понятие о статистических играх
- •Критерии принятия решения
- •Критерий максимального математического ожидания выигрыша
- •Критерий недостаточного основания Лапласа
- •Максиминный критерий Вальда
- •Критерий минимаксного риска Сэвиджа
- •Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
- •Критерий Ходжа-Лемана
- •Занятие 7
- •Пример решения статистической игры
- •Тема 4. Определение экономического эффекта информации с использованием методов теории игр
- •Занятие 8
- •Основные факторы, определяющие величину эффекта прогноза состояний окружающей среды и значений выигрыша лпр
- •Пример решения задачи определения величины экономического эффекта информации
- •Список использованной литературы
- •Тема 1 Решение матричных игр в чистых стратегиях 3
- •Тема 2 Смешанные стратегии в матричных играх 21
- •Тема 3 Принятие решения в условиях неопределённости 33
- •Тема 4. Определение экономического эффекта информации с использованием методов теории игр 51
Запись матричной игры в виде платёжной матрицы
В общем виде матричная игра может быть записана следующей платёжной матрицей [1, 2, 7] (рис. 1.1.),
где Ai – названия стратегий игрока 1, Bj – названия стратегий игрока 2, aij – значения выигрышей игрока 1 при выборе им i – й стратегии, а игроком 2 – j – й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой сумм
ой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.
|
B1 |
B2 |
… |
Bn |
A1 |
a11 |
a12 |
... |
A1n |
A2 |
a21 |
a22 |
... |
A2n |
… |
... |
... |
... |
... |
Am |
am1 |
am2 |
... |
amn |
Рис. 1.1. Общий вид платёжной матрицы матричной игры
Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях
Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учётом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину
Vн = maxi minj aij ,
или найти минимальные значения по каждой из строк платёжной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина Vн называется максимином матрицы или нижней ценой игры.
Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока 2. Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение
Vв = minj maxi aij .
Или найти максимальные значения по каждому из столбцов платёжной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина Vв называется минимаксом матрицы или верхней ценой игры.
В случае, если значения Vн и Vв не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов aij ) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве Vн = Vв = V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается V - оптимальными чистыми стратегиями. Величина V называется чистой ценой игры. [8].
Например, в матрице (рис. 1.2)
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
Minj |
A1 |
7 |
6 |
5 |
4 |
4 |
A2 |
1 |
8 |
2 |
3 |
1 |
A3 |
8 |
1 |
3 |
2 |
1 |
Maxi |
8 |
8 |
5 |
4 |
|
Рис. 1.2. Платёжная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
Minj |
A1 |
7 |
6 |
5 |
2 |
2 |
A2 |
1 |
8 |
2 |
3 |
1 |
A3 |
8 |
1 |
3 |
2 |
1 |
Maxi |
8 |
8 |
5 |
3 |
|
Рис. 1.3. Платёжная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях
существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 – стратегия B4.
В матрице (рис. 1.3) решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры (максимальный гарантированный выигрыш игрока 1) достигается в стратегии A1 и её значение равно 2, в то время как верхняя цена игры (минимум потерь игрока 2) достигается в стратегии B4 и её значение равно 3.
|
Практическая часть |
Задание 1. 1
Пусть задана следующая игра с участием двух игроков:
Первый игрок загадывает любое целое число от 1 до 3. Второй игрок должен отгадать это число. Если второй игрок указывает число правильно, он получает выигрыш, равный значению этого числа. В противном случае этот выигрыш получает первый игрок.
1. Определите число стратегий игроков и составьте платёжную матрицу задачи.
2. Определите нижнюю и верхнюю цену игры. Установите, существует ли в данной игре решение в чистых стратегиях.
Задание 1.2
Разработайте компьютерную программу, выполняющую следующие действия:
1. Ввод платёжной матрицы (по вариантам, предложенным преподавателем);
2. Определение нижней и верхней цены игры и вывод их значений, а также названий стратегий, в которых достигаются эти значения.
3. Определение наличия или отсутствия оптимальной чистой стратегии в игре. В случае существования оптимальной чистой стратегии вывод информации о названиях стратегий игроков, в которых она достигается. В случае отсутствия оптимальной чистой стратегии вывод соответствующего сообщения.