1.Связь между напряженностью и потенциалом поля.

Зная потенциал поля можно достаточно просто восстановить и само поле , для чего необходимо знать связь между напряженностью и потенциалом.

Из механики известно, что для стационарного поля консервативных сил работа, которую производят силы поля по перемещению частицы из точки 1 в точку 2 поля, может быть представлена как убыль потенциальной энергии частицы на этом пути:

Д

Q

q

ля элементарного перемещения вдоль направления элементарная работа или . Поскольку , где -проекция силы на направление перемещения, а -элементарный путь, рис.1.5, значит равно модулю , тогда: , здесь убыль потенциальной энергии в направлении перемещения.

Таким образом, - проекция силы поля на направление перемещения равна производной потенциальной энергии по данному направлению с обратным знаком. Символ частной производной подчеркивает, что она берется по определенному направлению.

В

Рис.1.5

декартовой системе координат перемещение можно разложить как , а сила . Подставляя сюда выражение для проекций сил по направлениям x, y, z, , , получим: .

Выражение в скобках (вектор) является градиентом скалярной функции W и записывается как grad W или . А сама операция

называется оператором Гамильтона. Тогда кратко можно записать: , или .

Для произвольного заряда, находящегося в электростатическом поле с напряженностью , сила , а энергия заряда в поле:

, где - потенциал, создаваемый зарядом Q в точке, где находится заряд . Подставляя и , получим: или . Раскрыв оператор: .

Проекция на произвольное направление запишется как .

Формула позволяет по известным найти в каждой точке поля или по известным значениям найти разность потенциалов между произвольными точками поля.

Например, для декартовых координат для поля точечного заряда , производные: , аналогично для других направлений. Затем, умножив их на орты направлений и сложив, получим:

.

На рис.1.6 показаны направления векторов и для точечного заряда.

Запишем выражение для работы сил поля над зарядом в виде:

, эта же работа может быть записана в виде

. Из сравнения формул, получим:

Т.к. , работа не зависит от формы пути, то интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2. При обходе по замкнутому контуру и

Рис.1.6

, что справедливо только для электростатического поля.

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной, ее уравнение , при перемещении по этой поверхности , значит - касательная составляющая вектора равна 0, т.е. линии напряженности электрического поля перпендикулярны к эквипотенциальной поверхности.

2.Закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи.

Рассмотрим практически важный случай, когда ток течет вдоль тонких проводов, т.е. направление тока совпадает с направлением оси провода и плотность может считаться одинаковой во всех точках сечения площади . Запишем закон Ома: и разделим его на , а затем умножим скалярно на элемент оси провода – вектор , взятый по направлению от сечения 1 провода до сечения 2, рис.5.4.

Проинтегрируем уравнение по длине провода от сечения 1 до сечения 2:

().

В первом интеграле заменим на , где проекция на направление , а можно записать как . Величины , - алгебраические. Тогда первый интеграл с учетом того, что :

. Интеграл в правой части – полное сопротивление между сечением 1 и 2 провода - . Значит, первый интеграл равен .

Второй интеграл есть разность потенциалов между сечениями 1 и 2, т.е. работа по перемещению единичного положительного заряда силами кулоновского поля между сечениями 1 и 2.

Третий интеграл Є₁₂ – по аналогии есть работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда сторонними силами между сечениями 1 и 2, называемая є.д.с., действующей на данном участке цепи, т.е.:

=Є₁₂.

Э.д.с. величина алгебраическая, если она способствует движению положительного заряда в выбранном направлении, она больше 0 и наоборот.

После этих преобразований формула закона Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи имеет вид:

Правая часть уравнения это работа электростатических и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда между сечениями 1 и 2, она называется падением напряжения на данном участке цепи:

.

Для однородного участка цепи Є₁₂ = 0, значит падение напряжения , т.е. совпадает с разностью потенциалов.

На рис.5.5 дано распределение потенциала на неоднородном участке цепи. На сопротивлении R потенциал уменьшается от 1 к 2, т.е. ток течет слева направо. Потенциал , но ток течет от 1 к 2 благодаря присутствию э.д.с., действующей в том же (положительном) направлении.

Сопротивление проводов здесь считается равным нулю.

Если указанную цепь замкнуть, то и уравнение приобретает вид:

, где - полное сопротивление цепи, а Є – алгебраическая

сумма э.д.с. в цепи.

Рис.5.5 Рис.5.6

На рис.5.6 показано изменение потенциала для замкнутой цепи, содержащей э.д.с., действующей на участке АВ и проводник на участке ВА с распределенным сопротивлением. Положительные заряды как бы соскальзывают от точки _А к точке _В по внешнему участку цепи. Внутри же источника, “подняться” от точки _В к точке _А, им помогают сторонние силы.