1.Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора е.

В отличие от формы, которая называется интегральной: и, которая дает усредненное значение потока вектора по объему,

дифференциальная форма устанавливает связь между объемной плотностью заряда и изменениями напряженности поля в окрестности данной точки пространства, т.е. является более точной.

Запишем вначале заряд q в объеме V, который охватывается поверхностью S в виде , где - среднее по объему значение плотности заряда и подставим в уравнение теоремы Гаусса:

или

Устремим V к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля, чтобы точнее определить поле. При этом будет стремиться к истинному значению плотности заряда в данной точке поля, т.е. к .

Величина предела отношения - к объему V при V0 в математике называется дивергенцией поля и обозначается div . Таким образом, по определению:

div =lim_V0

Из определения следует, что div является скалярной функцией координат. Чтобы получить выражение для div , надо взять бесконечно малый объем, найти поток вектора сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем и найти отношение , т.е. физически это есть поток вектора , приходящийся на единицу охватываемого объема или плотность потока. Полученное выражение будет зависеть от выбора системы координат, для декартовой системы:

div = , скаляр, являющийся объемной производной векторного поля.

Таким образом, при V0 правая часть стремится к , а левая – к div , следовательно: div =

Это и есть теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Если воспользоваться векторным дифференциальным оператором (оператором Гамильтона) в декартовой системе координат: , то при умножении его скалярно на вектор получим: , значит, используя оператор Гамильтона, теорему Гаусса можно записать в другой форме:

В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой. Дивергенция в данной точке зависит только от плотности заряда в этой точке. В разных точках поля точечного заряда поле отличается друг от друга, это относится и к пространственным производным и т.д.. Однако, сумма этих производных, т.е. div оказывается во всех точках поля вне самого заряда равной нулю.

Там , где div 0 мы имеем источники поля (положительные заряды), там, где div 0 – стоки (отрицательные заряды). Линии выходят из положительных зарядов, а в местах стоков заканчиваются.

2.Мощность постоянного тока.

Рассмотрим участок цепи постоянного тока, к концам которого

приложено напряжение U. За время t через каждое сечение проводника проходит заряд q = It, что равносильно переносу этого заряда из одного конца проводника в другой, при этом электростатические и сторонние силы, действующие на этом участке, совершают работу: . Мощность, развиваемая током на данном участке цепи:

Мощность может расходоваться на совершение работы над внешними телами (механическая работа), на протекание химических реакций и, наконец, на нагрев данного участка. В последнем случае тепловая мощность на участке цепи равна алгебраической сумме мощностей электростатических и сторонних сил. Для замкнутой цепи получим:

, т.е. вся тепловая мощность равна мощности сторонних сил.

Отношение мощности к объему проводника, в котором она развивается называется удельной мощностью в данной точке.

Выражение для можно найти из механических соображений. Сила, действующая на один электрон развивает при его движении с дрейфовой скоростью мощность . Усреднив это выражение по носителям в малом объеме , где и постоянны, получим:

.

Мощность в объеме найдем умножив на число носителей в этом объеме: , тогда удельная мощность:

= - дифференциальная форма выражения для мощности.