1.Поток вектора е. Теорема Гаусса в интегральной форме.

Поле вектора обладает важным свойством: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью:

Для доказательства возьмем произвольную поверхность, которая охватывает часть изотропного диэлектрика, рис.2.2а. (Векторы и здесь коллинеарны).

Рис.2.2

При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется: положительный заряд смещается в направлении поля, отрицательный-против на расстояния , соответственно.

Найдем заряд, который пройдет через элемент замкнутой поверхности S наружу, (рис.2.2б в увеличенном виде): - заряд, который был заключен во внутренней части косого цилиндра объемом . Кроме того, во внутрь войдет заряд , который был заключен во внешней части цилиндра. Перенос отрицательного заряда эквивалентен переносу положительного в обратном направлении, тогда суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS равен: + = , т.к., , а расстояние, на которое сместятся при поляризации отрицательные и положительные заряды . Значит, . Поскольку , то .

Интегрируя это выражение по всей замкнутой поверхности S, получим в правой части весь заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого этой поверхностью, он равен: . Внутри поверхности останется некоторый избыточный связанный заряд. Вышедший заряд должен быть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S, т.е., .

Это и есть теорема Гаусса для вектора в интегральной форме.

Для перехода к дифференциальной форме правую часть уравнения запишем через объемную плотность заряда:

, а левую – преобразуем по теореме Остроградского – Гаусса:

, тогда . Это условие должно выполняться для любого, произвольно выбранного объема, что возможно, если в каждой точке диэлектрика подынтегральные выражения равны:

- дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора . Значит, дивергенция поля вектора равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке.

Рис.2.3 дает наглядную интерпретацию этой формуле. Можно подобно полю ввести поле вектора . Точки с положительной являются источниками поля вектора , отсюда линии расходятся. Точки с отрицательной служат стоками поля вектора поляризованности, линии здесь сходятся. В местах с положительной образуется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной - положительных.

Рис.2.3

2.Правила Кирхгофа.

Первое из них относится к узлам цепи и выглядит так: , оно является следствием стационарности токов , т.е. в конечном счете следует из закона сохранения заряда.

Второе правило – алгебраическая сумма произведений сил тока в отдельных участках произвольных замкнутых контуров цепи на их сопротивления равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этих контурах: .