3. Формальная постановка задачи.

По условию курсовой работы, нам на единичном гиперкубе задана функция алгебры логики в виде множества вершин, на которых она принимает единичное значение. Необходимо из всего множества вершин выделить основные вершины с висящими на них элементами функции всех размерностей. Основные вершины выбираются следующим образом: берется первая по списку вершина. Для нее находятся элементы функции всех размерностей (принадлежащие нашей функции). Из вершин, которые не покрыты элементами функции первой выбранной вершины, берется первая вершина и для нее так же ищутся элементы функции всех размерностей. И т.д. пока не будут покрыты все вершины. Из элементов функции всех размерностей выделить те, которые являются не избыточными. Т.е., например, если у некоторого ребра покрыты вершины, на которых оно «держится», то покрытие самого ребра будет избыточным. Используя не избыточные элементы, строится не избыточная оболочка функции.

4. Пункты решения задачи.

• Построение таблицы элементов заданной функции алгебры логики.

		1	2	8	30
1	X0X1X2X3X4	■	-	-	-
2	X0X1X2X3X4	-	■	-	-
3	X0X1X2X3X4	j1	j0	-	-
5	X0X1X2X3X4	j2	-	-	-
6	X0X1X2X3X4	-	j2	-	-
7	X0X1X2X3X4	j12	j02	■	-
8	X0X1X2X3X4	-	-	-	-
9	X0X1X2X3X4	j3	-	j0	-
10	X0X1X2X3X4	-	j3	j1	-
11	X0X1X2X3X4	j13	j03	j01	-
12	X0X1X2X3X4	-	-	j2	-
13	X0X1X2X3X4	j23	-	j02	-
17	X0X1X2X3X4	j4	-	-	-
18	X0X1X2X3X4	-	j4	-	-
19	X0X1X2X3X4	j14	j04	-	-
21	X0X1X2X3X4	j24	-	-	-
22	X0X1X2X3X4	-	j24	-	j3
23	X0X1X2X3X4	j124	j024	-	j03
24	X0X1X2X3X4	-	-	j4	-
25	X0X1X2X3X4	j34	-	j04	-
27	X0X1X2X3X4	j134	-	-	-
28	X0X1X2X3X4	-	-	j24	j1
29	X0X1X2X3X4	j234	-	j024	j01
30	X0X1X2X3X4	-	-	-	■
31	X0X1X2X3X4	-	-	-	j0

Рассмотрим первую по списку вершину. Это вершина 1.

Для выбранной вершины 0 определим ближайших соседей по всем координатным осям.

J_j = J^* + (-1)^Xj 2^j, где J_j - ближайший сосед по j-ой координате; J^* - выбранная нами вершина. Так как у нас задан пятимерный гиперкуб, то определять ближайших соседей будем по пяти осям:

J^* = 0 ~ 1 0 0 0 0

^X₀ ^X₁ ^X₂ ^X₃ ^X₄

J₀ = J^* + (-1)¹ 2⁰=1-1=0 не принадлежит T;

J₁ = J^* + (-1)⁰ 2¹=1+2=3;

J₂ = J^* + (-1)⁰ 2²=1+4=5;

J₃ = J^* + (-1)⁰ 2³=1+8=9;

J₄ = J^* + (-1)⁰ 2⁴=1+16=17.

J_∑ = {J_i: i=1,2,3,4}={J₁, J₂, J₃, J₄}={3,5,9,17}.

J_∑ ∩ T ={3,5,9,17}.

Получили множество вершин, на которых исходная функция принимает единичное значение.

j₁ = {1,3};

j₂ = {1,5};

j₃ = {1,9};

j₄ = {1,17}.

Таким образом, мы получили элементы функции размерности 1.

Найдем элементы функции размерности 2:

(j₁, j₂) => J₁₂ = J₁ + J₂ - J^*=3+5-1=7;

(j₁, j₃) => J₁₃ = J₁ + J₃ - J^*=3+9-1=11;

(j₁, j₄) => J₁₄ = J₁ + J₄ - J^*=3+17-1=19;

(j₂, j₃) => J₂₃ = J₂ + J₃ - J^*=5+9-1=13;

(j₂, j₄) => J₂₄ = J₂ + J₄ - J^*=5+17-1=21;

(j₃, j₄) => J₃₄ = J₃ + J₄ - J^*=9+17-1=25.

J_∑1 = {J₁₂, J₁₃, J₁₄, J₂₃, J₂₄, J₃₄}={7,11,19,13,21,25}.

Множество диагональных элементов.

J_∑1 ∩ T ={7,11,19,13,21,25}.

Элементы размерности 2:

j₁₂ = {1,3,5,7};

j₁₃ = {1,3,9,11};

j₁₄ = {1,3,17,19};

j₂₃ = {1,5,9,13};

j₂₄ = {1,5,17,21};

j₃₄ = {1,9,17,25}.

Найдем элементы функции размерности 3:

(j₁₂, j_13, j₂₃) => J₁₂₃ = J₁ + J₂ + J₃ - 2J^*=3+5+9-2=15 не принадлежит T;

(j₁₂, j_14, j₂₄) => J₁₂₄ = J₁ + J₂ + J₄ - 2J^*=3+5+17-2=23;

(j₁₃, j_14, j₃₄) => J₁₃₄ = J₁ + J₃ + J₄ - 2J^*=3+9+17-2=27;

(j₂₃, j_24, j₃₄) => J₂₃₄ = J₂ + J₃ + J₄ - 2J^*=5+9+17-2=29.

J_∑2 ={J₁₂₄,J₁₃₄,J₂₃₄}={23,27,29}.

J_∑2 ∩ T ={23,27,29}.

Элементы функции размерности 3:

j₁₂₄ = {1,3,5,17,7,19,21,23};

j₁₃₄ = {1,3,9,17,11,19,25,27};

j₂₃₄ = {1,5,9,17,13,21,25,29}.

Элементов функции размерности 4 и 5 у данной функции для опорной вершины 1 нет.

Так как для элемента размерности 4, необходимо наличие двух 3-х мерных кубов смежных по одной координате.

Рассмотрим следующую непокрытую вершину. Это вершина 2.

J^* = 2 ~ 0 1 0 0 0

^X₀ ^X₁ ^X₂ ^X₃ ^X₄

J₀ = J^* + (-1)⁰ 2⁰=2+1=3;

J₁ = J^* + (-1)¹ 2¹=2-2=0 не принадлежит T;

J₂ = J^* + (-1)⁰ 2²=2+4=6;

J₃ = J^* + (-1)⁰ 2³=2+8=10;

J₄ = J^* + (-1)⁰ 2⁴=2+16=18 .

J_∑ = { J_i : i=0,2,3,4}={J₀,J₂,J₃,J₄}={3,6,10,18}.

J_∑ ∩ T ={3,6,10,18}.

j₀ = {2,3};

j₂ = {2,6};

j₃ = {2,10};

j₄ = {2,18}.

Таким образом, мы получили элементы функции размерности 1.

Найдем элементы функции размерности 2:

(j₀, j₂) => J₀₂ = J₀ + J₂ - J^*=3+6-2=7;

(j₀, j₃) => J₀₃ = J₀ + J₃ - J^*=3+10-2=11;

(j₀, j₄) => J₀₄ = J₀ + J₄ - J^*=3+18-2=19;

(j₂, j₃) => J₂₃ = J₂ + J₃ - J^*=6+10-2=14 не принадлежит T;

(j₂, j₄) => J₂₄ = J₂ + J₄ - J^*=6+18-2=22;

(j₃, j₄) => J₃₄ = J₃ + J₄ - J^*=10+18-2=26 не принадлежит T.

J_∑1={ J₀₂,J_03,J₀₄,J₂₄}={7,11,19,22}.

Множество диагональных элементов.

J_∑1 ∩ T ={7,11,19,22}.

Элементы размерности 2:

j₀₂ = {2,3,6,7};

j₀₃ = {2,3,10,11};

j₀₄ = {2,3,18,19};

j₂₄ = {2,6,18,22}.

Найдем элементы функции размерности 3:

(j₀₂, j_04, j₂₄) => J₀₂₄ = J₀ + J₂ + J₄ - 2J^*=3+6+18-4=23.

J_∑2={J₀₂₄}={23}.

J_∑2 ∩ T ={23}.

Элементы размерности 3:

j₀₂₄ ={2,3,6,18,7,19,22,23}.

Элементов функции размерности 4 и 5 у данной функции для опорной вершины 2 нет.

Так как для элемента размерности 4, необходимо наличие двух 3-х мерных кубов смежных по одной координате.

Рассмотрим следующую непокрытую вершину. Это вершина 8.

J^* = 8 ~ 0 0 0 1 0

^X₀ ^X₁ ^X₂ ^X₃ ^X₄

J₀ = J^* + (-1)⁰ 2⁰=8+1=9;

J₁ = J^* + (-1)⁰ 2¹=8+2=10;

J₂ = J^* + (-1)⁰ 2²=8+4=12;

J₃ = J^* + (-1)¹ 2³=8-8=0 не принадлежит T;

J₄ = J^* + (-1)⁰ 2⁴=8+16=24 .

J_∑ = {J_i: i=0,1,2,4}={J₀,J₁,J₂,J₄}={9,10,12,24}.

J_∑ ∩ T ={9,10,12,24}.

j₀ = {8,9};

j₁ = {8,10};

j₂ = {8,12};

j₄ = {8,24}.

Таким образом мы получили элементы функции размерности 1.

Найдем элементы функции размерности 2:

(j₀, j₁) => J₀₁ = J₀ + J₁ - J^*=9+10-8=11;

(j₀, j₂) => J₀₂ = J₀ + J₂ - J^*=9+12-8=13;

(j₀, j₄) => J₀₄ = J₀ + J₄ - J^*=9+24-8=25;

(j₁, j₂) => J₁₂ = J₁ + J₂ - J^*=10+12-8=14 не принадлежит T;

(j₁, j₄) => J₁₄ = J₁ + J₄ - J^*=10+24-8=26 не принадлежит T;

(j₂, j₄) => J₂₄ = J₂ + J₄ - J^*=12+24-8=28.

J_∑1 ={J₀₁,J₀₂,J₀₄,J₂₄}={11,13,25,28}.

Множество диагональных элементов.

J_∑1 ∩ T ={11,13,25,28}.

Элементы размерности 2:

j₀₁ = {8,9,10,11};

j₀₂ = {8,9,12,13};

j₀₄ = {8,9,24,25};

j₂₄ = {8,12,24,28}.

Найдем элементы функции размерности 3:

(j₀₂, j_04, j₂₄) => J₀₂₄ = J₀ + J₂ + J₄ - 2J^*=9+12+24-16=29.

J_∑2={J₀₂₄}={29}.

J_∑2 ∩ T ={29}.

Элементы размерности 3:

j₀₂₄ ={8,9,12,24,11,13,28,29}.

Элементов функции размерности 4 и 5 у данной функции для опорной вершины 8 нет.

Так как для элемента размерности 4, необходимо наличие двух 3-х мерных кубов смежных по одной координате.

Рассмотрим следующую непокрытую вершину. Это вершина 30.

J^* = 30 ~ 0 1 1 1 1

^X₀ ^X₁ ^X₂ ^X₃ ^X₄

J₀ = J^* + (-1)⁰ 2⁰=30+1=31;

J₁ = J^* + (-1)⁰ 2¹=30-2=28;

J₂ = J^* + (-1)⁰ 2²=30-4=26 не принадлежит T;

J₃ = J^* + (-1)¹ 2³=30-8=22;

J₄ = J^* + (-1)⁰ 2⁴=30-16=14 не принадлежит T.

J_∑ = {J_i: i=0,1,4}={J₀,J₁,J₄}={31,28,22}.

J_∑ ∩ T ={31,28,22}.

j₀ = {30,31};

j₁ = {30,28};

j₄ = {30,22}.

Таким образом мы получили элементы функции размерности 1.

Найдем элементы функции размерности 2:

(j₀, j₁) => J₀₁ = J₀ + J₁ - J^*=31+28-30=29;

(j₀, j₃) => J₀₃ = J₀ + J₃ - J^*=31+22-30=23;

(j₁, j₃) => J₁₃ = J₁ + J₃ - J^*=28+22-30=14 не принадлежит T.

J_∑1 ={J₀₁,J₀₃}={29,23}.

Множество диагональных элементов.

J_∑1 ∩ T ={29,23}.

Элементы размерности 2:

j₀₁ = {30,31,28,29};

j₀₃ = {30,31,22,23}.

Элементов функции размерности 3, 4 и 5 у данной функции для опорной вершины 30 нет.

Для существования элемента размерности 3, необходимо на наличие трех смежных граней. Так как для элемента размерности 4, необходимо наличие двух 3-х мерных кубов смежных по одной координате.

• Формирование списков основных вершин с указанием висящих на них элементов функции (всех размерностей).

Основная вершина	Список висящих на них элементов функций всех размерностей
1	j1(1,3), j2(1,5), j12(1,3,5,7), j3(1,9), j13(1,3,9,11), j23(1,5,9,13), j4(1,17), j14(1,3,17,19), j24(1,5,1,21), j124(1,3,5,17,21,7,19,23), j34(1,9,17,25), j134(1,3,9,11,17,25,19,27), j234(1,5,9,13,17,25,21,29)
2	j0(2,3), j2(2,6), j02(2,3,6,7), j3(2,10), j03(2,3,10,11), j4(2,18), j04(2,3,18,19), j24(2,6,18,22), j024(2,3,6,7,18,22,19,23)
8	j0(8,9), j1(8,10), j01(8,9,10,11), j2(8,12), j02(8,9,12,13), j4(8,24), j04(8,9,24,25), j24(8,12,24,28), j024(8,9,12,13,24,25,28,29)
30	j3(30,22), j03(30,31,22,23), j1(30,28), j01(30,31,28,29), j0(30,31)

• Упорядочение списков элементов функции для каждой из основных вершин по убыванию размерностей висящих на них элементов функции.

Основная вершина	Список висящих на них элементов функций всех размерностей, упорядоченные по убыванию размерности
1	j124(1,3,5,17,21,7,19,23), j134(1,3,9,11,17,25,19,27), j234(1,5,9,13,17,25,21,29), j12(1,3,5,7), j13(1,3,9,11), j23(1,5,9,13), j14(1,3,17,19), j24(1,5,1,21), j34(1,9,17,25), j1(1,3), j2(1,5), j3(1,9), j4(1,17)
2	j024(2,3,6,7,18,22,19,23), j02(2,3,6,7), j03(2,3,10,11), j04(2,3,18,19), j24(2,6,18,22), j0(2,3), j2(2,6), j3(2,10), j4(2,18)
8	j024(8,9,12,13,24,25,28,29), j01(8,9,10,11), j02(8,9,12,13), j04(8,9,24,25), j24(8,12,24,28), j0(8,9), j1(8,10), j2(8,12), j4(8,24)
30	j03(30,31,22,23), j01(30,31,28,29), j3(30,22), j1(30,28), j0(30,31)

• Анализ списков с целью выделения основных элементов функции.

Основная вершина	Элемент функции	Вершины
1	j124	1,3,5,17,21,7,19,23
	j134	1,3,9,11,17,25,19,27
	j234	1,5,9,13,17,25,21,29
	j12	1,3,5,7
	j13	1,3,9,11
	j23	1,5,9,13
	j14	1,3,17,19
	j24	1,5,1,21
	j34	1,9,17,25
	j1	1,3
	j2	1,5
	j3	1,9
	j4	1,17
2	j024	2,3,6,7,18,22,19,23
	j02	2,3,6,7
	j03	2,3,10,11
	j04	2,3,18,19
	j24	2,6,18,22
	j0	2,3
	j2	2,6
	j3	2,10
	j4	2,18
8	j024	8,9,12,13,24,25,28,29
	j01	8,9,10,11
	j02	8,9,12,13
	j04	8,9,24,25
	j24	8,12,24,28
	j0	8,9
	j1	8,10
	j2	8,12
	j4	8,24
30	j03	30,31,22,23
	j01	30,31,28,29
	j3	30,22
	j1	30,28
	j0	30,31

• Выделение избыточных элементов функции.

1

2

3

5

6

7

8

9

10

11

12

13

17

18

19

21

22

23

24

25

27

28

29

30

31

1

x0x3

+

+

+

+

+

+

+

+

x0x2

+

+

+

+

+

+

+

+

x0x1

+

+

+

+

+

+

+

+

2

x1x3

+

+

+

+

+

+

+

+

8

x1x3

+

+

+

+

+

+

+

+

2

x1x2x4

+

+

+

+

8

x2x3x4

+

+

+

+

30

x1x2x4

+

+

+

+

x2x3x4

+

+

+

+

• Построение не избыточной оболочки функции.

f(x)₅=x₀x_{2 \/} x₀x_1\/ x₁x_{3 \/} x₁x_{3 \/} x₁x₂x_{4 \/} x₁x₂x₄