46. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу, в прямоугольник
Если на одном и том же пространстве
элементарных событий
заданы функции
,
то говорят, что задан n
мерный случайный вектор.
.
Для простоты рассмотрим двумерный случайный вектор.
Пусть заданы две функции:
и случайный вектор:
.
Функция распределения двумерной СВ g определяется как вероятность того, что
(1)
Функция распределения двумерной СВ
определяется как вероятность попадания
случайным образом выбранной точки с
координатами
в бесконечный квадрат.
Из определения (1) можно получить
вероятность того, что СВ будет лежать
в полосе:
y
x
0
47.Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения).
Для НСВ удобным законом распределения является плотность распределения (дифференциальная функция распределения).
Свойство плотности вероятности.
1)
;
2)
;
3)
,
так как F(x)-
неубывающая.
Геометрический смысл функции распределения
F(x) и f(x)
(диф. и интегр. функции распределения).
Вероятность того, что непрерывная СВ попадет на интервал АВ, геометрически равна площади криволинейной трапеции, расположенной под кривой плотности вероятности и опирающейся на отрезок АВ. Эта же вероятность равна приращению ординаты кривой функции распределения F(x).
Пример.
Непрерывная СВ задана плотностью распределения:
Найти k,
F(x),
вероятность того, что СВ
Решение:
1.
2k=1
k=0.5;
F(x)=
F(x)
=
Рассмотрим три случая:
1) x<0
F(x)=
;
2)
F(x)=
;
3) x>
F(x)=
;
3.
49. Коэффициент корреляции и его свойства
Для двумерной СВ характер связи между
СВ
определяют
коэффициенты ковариации и корреляции.
Ковариация:
.
Корреляция:
.
Если
=1,
то между СВ
существует прямая линейная зависимость,
то есть существуют числа a,
b, c, такие,
что ax+by+c=0.
Причем y=
$=1
;
Если =0, то между и
нет
линейной зависимости, но это не означает,
что
-
независимые СВ, но обратное утверждение
верно, то есть если
-
независимые СВ, то
=0.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Свойства коэффициента корреляции
1.
По определению
т.к.
всегда неотрицательна, то
2.
Если
,
то с вероятность 1 X и Y связаны линейно.
Рассмотрим X*-Y*, отсюда M(X*-Y*)=0.
Если X и Y дискретные случайные величины, и дисперсия равна 0, то их сумма (разность) является постоянной
Пусть X и Y непрерывные случайные величины, то в соответствии с неравенством Чебышева
т.к.
Это неравенство и обозначает, что с вероятностью 1
откуда
y=ax+b, где
Если коэффициент корреляции , то результаты опыта лежат на прямой
В общем случае Y можно представить в виде
Коэффициент корреляции является мерой близости линейной связи между случайными величинами X и Y: чем ближе коэффициент корреляции по модулю к 1, тем более тесно результаты конкретного испытания над X и Y соотносятся с прямой ax+b.