Биномиальное распределение и его числовые характеристики.
Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p.
Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х.
Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.
Значения найти достаточно просто. Очевидно, что в результате п испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. до п раз.
Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.
Эта формула аналитически выражает искомый закон распределения. Этот закон распределения называется биноминальным.
21.Распределение Пуассона и его числовые характеристики.
23. Гипергеометрическое распределение.
24 Математическое ожидание и его свойства.
25.Вероятностный смысл математического ожидания.
26.Дисперсия
и её свойства.
27.Центрированная нормированная случайная величина. Среднеквадратическое отклонение.
Неотрицательное число называют среднеквадратичным отклонением случайной величины x . Оно имеет размерность случайной величины x и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный
интервал рассеивания, симметричный относительно Мx .
З а м е ч а н и е. Если воспользоваться свойствами математического ожидания, то формулы (10.4) можно привести к более удобному для практического применения виду:
Dx = M(x - Mx )2 = M[x 2 - 2x Mx + (Mx )2] = Mx 2 - 2Mx Mx + (Mx )2] = Mx 2 - (Mx )2.
Отсюда следует, что
если x - дискретна,
если x - абсолютно непр.
Теорема 10.3. (Свойства дисперсии)
1. Для любой случайной величины x верно Dx ³ 0,
2. Если c - постоянная, то Dc = 0.
3. Если c - постоянная, то D(cx ) = c2Dx .
4. Если случайные величины x и h независимы, то
D(x ± h ) = Dx + Dh .
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Свойства 1 - 3 следуют непосредственно из определения 10.3 и теоремы 10.1 (свойства математического ожидания). Доказать самостоятельно.
Докажем свойство 4. Воспользуемся определением (10.4/ ), откуда следует
D(x + h ) = M[(x + h ) - M (x + h )]2 = M[(x - Mx ) +(h - Mh )]2 =
= M(x - Mx )2 +M(h - Mh )2 + 2 М(x - Mx ) (h - Mh ),
но т.к. случайные величины x и h независимы, то (x - Mx ) и (h - Mh ) тоже независимы, тогда М(x - Mx ) (h - Mh ) = М(x - Mx ) М(h - Mh ) = 0.
Теперь получаем D(x + h ) = M(x - Mx )2 +M(h - Mh )2 = Dx + Dh . ¨
Определим два понятия, которыми будем пользоваться в дальнейшем:
Случайная величина называется центрированной (обозначается
если М = 0, т.е. преобразование = x - Mx центрирует случайную величину.
Случайная величина называется стандартизированной (нормированной), если Mx = 0 и s x = 1.