Упрощающие допущения

При рассмотрении нестационарных течений многих капельных жидкостей (например, нефтей, нефтепродуктов, воды и т.п.), обычно принимаются следующие допущения и делаются следующие упрощения.

• нефть считается слабо сжимаемой жидкостью, т.е. в уравнении состояния считается, что , поэтому во всех коэффициентах плотность нефти заменяется ее невозмущенным значением;

• считается, что площадь сечения стального нефтепровода изменяется под воздействием давления крайне незначительно, т.е. , поэтому во всех коэффициентах площадь сечения трубопровода заменяется ее невозмущенным значением;

• изменениями величины скоростного напора пренебрегают по сравнению с изменениями пьезометрического напора: ;

• принимается, что скорость течения жидкости в трубопроводе много меньше скорости распространения волн давления;

• принимается так называемая гипотеза квазистационарности трения, согласно которой , представленное формулой , где коэффициент трения (или множитель Фанинга), выражается через коэффициент гидравлического сопротивления:

(т.е. ),

причем для коэффициента используются зависимости, справедливые для стационарного течения.

Основные уравнения

С учетом сделанных допущений уравнение (12.8) преобразуется к виду:

.

Учитывая формулы (12.2), (12.4), согласно которым

и ,

получаем уравнение

, где .

Можно показать, что из условия следует, что . Тогда уравнение неразрывности получает окончательную форму:

. (12.12)

Уравнение (12.11) также упрощается и принимает вид:

. (12.13)

Таким образом, мы приходим к основной системе двух дифференциальных уравнений (12.12) и (12.13) с частными производными, используемых для расчета двух неизвестных функций и .

(12.14)

где .

Если учесть, что ; и , то систему уравнений, определяющих нестационарное течение нефти в трубопроводе, можно записать в терминах объемного расхода и напора :

(12.15)

12.4. Метод характеристик для расчета неустановившихся течений слабосжимаемой жидкости в трубопроводах

Расчет неустановившихся течений жидкости в трубопроводах более сложен, чем расчет установившихся течений. Не существует простых алгебраических формул для вычисления параметров течения в неустановившихся течениях хотя бы потому, что таких течений существует бесчисленное множество. Поэтому расчеты неустановившихся течений, например тех, которые были поименованы в начале этого параграфа, осуществляют численно с использованием компьютеров. Приведем один из эффективных алгоритмов расчета, основанный на математическом методе, получившем название метода характеристик.

Умножим второе уравнение системы уравнений (12.14) на и сложим результат с первым уравнением. Получим:

.

Аналогичным образом после вычитания второго уравнения системы (12.14), умноженного на , из первого, получим

.

Если на плоскости переменных рассмотреть прямые линии, которые определяются уравнениями

и которые называются характеристиками системы дифференциальных уравнений (12.13), можно заметить, что для любого параметра :

Это означает, что выражение, стоящее слева, есть производная от функции по направлению первой характеристики (или, как говорят, производная вдоль характеристики ). Аналогично

,

т.е. выражение, стоящее слева, есть производная от функции по направлению второй характеристики (или вдоль направления ).

Используя понятие производной по направлению, полученные уравнения можно записать в следующем виде:

или

. (12.16)

Система (12.16) называется характеристической формой системы уравнений (12.14).

Если , то правые части уравнений в (12.15) равны нулю. Это означает, что вдоль характеристики положительного наклона ( ) сохраняется величина , а вдоль характеристики отрицательного наклона ( ) сохраняется величина . Величины и называются инвариантами Римана.

Итак, при , т.е. при отсутствии силы трения и скатывающей составляющей силы тяжести, вдоль характеристик положительного наклона сохраняется первый инвариант Римана, а вдоль характеристики отрицательного наклона - второй инвариант Римана.

При величины и не сохраняются на соответствующих характеристиках. Однако формулы (12.16) могут служить для расчета различных неустановившихся течений в трубопроводе, особенно если использовать численные методы.

Пусть, например, в какой-либо момент времени (в частности, ) в трубопроводе известно распределение давлений и скоростей течения, т.е. функции и . Дадим метод для расчета значений этих функций в следующий момент времени , отстоящий от данного на величину . Рассмотрим на плоскости переменных прямоугольную сетку с шагом по координате и по времени (рис. 12.6).

Рис. 12.6. Расчетная схема метода характеристик

Через узлы получившейся сетки проведем характеристики и положительного и отрицательного наклонов, соответственно. Непрерывное распределение искомых функций и заменим дискретными значениями и сеточных функций в узлах построенной сетки. Предположим, что все значения и известны в каком-нибудь слое и требуется найти значения сеточной функции при , т.е. и . Покажем, как это сделать на примере произвольной точки .

Заменим производные по направлению в уравнениях (16) конечными разностями вдоль характеристик и . Получим:

где

.

Отсюда получаем систему уравнений для определения давления и скорости жидкости в точке через известные величины этих параметров в точках и :

или

где и значения функции , вычисленные по параметрам точек и , соответственно. Из последней системы вычисляем значения давлений и скоростей потока нефти в трубопроводе в момент времени через значения этих же параметров в момент времени :

(12.17)

Таким образом, рекуррентные формулы (12.17) в принципе решают поставленную задачу о расчете неустановившихся течений слабо сжимаемой жидкости в трубопроводе, поскольку позволяют рассчитать значения давлений и скоростей течения в последующий момент времени по известным значениям этих параметров в предыдущий момент времени. Так как за первый “предыдущий” момент времени можно взять начальное состояние потока (т.е. значения давлений и скоростей течения в момент времени, принимаемый за начальный ), то вычисляя по формулам (12.17) шаг за шагом значения этих величин в последующие моменты времени, можно рассчитать параметры потока в произвольный момент времени и затем найти все интересующие нас технологические параметры нестационарного режима.