8.4.3. Метод с.К. Годунова

Существенным ограничением метода SIMPLE и его модификаций SIMPLEС, SIMPLER, разработанных С. Патанкаром и Д. Сполдингом, является его низкая эффективность при решении задач около- и сверхзвуковой газовой динамики. В частности, это обусловлено нелинейностью уравнений газовой динамики, а нелинейность возрастает по мере увеличения скорости газа в связи с проявлением газом свойств сжимаемости. По этой причине аналитические выражения, используемые при определении параметров газа на границах контрольных объемов и подобные (8.123), применить не удается из-за их большой погрешности.

Метод С.К. Годунова свободен от этого недостатка. Параметры газа на границах контрольных объемов в этом методе устанавливаются автомодельным решением линеаризованной задачи газовой динамики (см. главу 7) [Численные]. Для различных приложений используются различные автомодельные решения. Ниже рассмотрим вариант метода С.К. Годунова в применении к задачам о течении идеального газа. В этих задачах для определения параметров на границах контрольных объемов используется автомодельное решение задачи о распаде произвольного разрыва в инертном газе [Рождественский].

Рассмотрим задачу, расчетная схема для которой представлена на рисунке 8.19. В ударной трубе мембрана М разделяет две полубесконечные области 1, 2, значения газодинамических параметров (давление, плотность, скорость, энергия) в которых соответственно равны и . Пусть для определенности давление в области 1 ниже, чем давление в области 2 ( ). В этом случае при разрыве мембраны М развитие процесса (распада разрыва параметров) может происходить по одной из следующих схем (рисунок 8.20):

- в обе стороны (из области 1 в область 2 и из области 2 в область 1) распространяются ударные волны , разделенные контактным разрывом k (рисунок 8.20а);

- справа налево (в область 1) распространяется ударная волна d, за ней следует контактный разрыв k, а в область повышенного давления (область 2) распространяется волна разрежения r (рисунок 8.20б);

- в обе стороны распространяются волны разрежения , разделенные контактным разрывом k (рисунок 8.20в);

- в обе стороны распространяются волны разрежения , разделенные областью нулевого давления (вакуумом) (рисунок 8.20г).

Определение параметров распада разрыва газодинамических величин после разрушения мембраны можно осуществить в следующей последовательности:

1. Вычисляем значения скорости распространения по расчетной области ударной волны , волны разрежения , значение скорости , соответствующей возможности возникновения области с нулевым значением давления (вакуума):

; (8.127)

; (8.128)

. (8.129)

Здесь обозначено ; . Кроме того, для идеального газа можно принять ;

2. Определяем вариант развития распада разрыва параметров после разрушения мембраны:

- в обе стороны от границы раздела двух сред распространяются ударные волны, если выполняется условие

, (8.130)

- вправо от границы раздела двух сред распространяется ударная волна, а влево – волна разрежения, если выполняются условия

, (8.131)

- в обе стороны от границы раздела двух сред распространяются волны разрежения, разделенные контактным разрывом, если выполняются условия

, (8.132)

- в обе стороны от границы раздела двух сред распространяются волны разрежения, разделенные областью вакуума, если выполняется условие

; (8.133)

3. Определяем значение давления на контактном разрыве (внутри области распада разрыва) решением нелинейного уравнения

. (8.134)

В (8.134) обозначено

.

Здесь и далее индекс l принимает значения l=1, 2. Уравнение (8.134) может решаться любым численным методом. Однако при использовании этого уравнения для численного решения двух- и трехмерных уравнений газовой динамики важным является условие экономичности метода. В качестве начального приближения для Р при решении уравнения (8.134) можно принять

; (8.135)

4. Определяем значения массовых скоростей для левой (распространяющейся справа налево) и для правой (распространяющейся слева направо) волн

- для ударной волны

, (8.136)

- для волны разрежения

; (8.137)

5. Определяем скорость движения контактного разрыва U

; (8.138)

6. Определяем скорости D левой и правой волн (для волны разрежения – скорости для крайних характеристик) и плотности газа R на этих волнах

- на ударной волне

, (8.139)

, (8.140)

- на волне разрежения

, (8.141)

, (8.142)

, (8.143)

. (8.144)

Рассмотренный алгоритм расчета значений параметров газа на контактном разрыве (уравнения (8.127)…(8.144)) является основой метода С.К. Годунова. Рассмотрим решение уравнений газовой динамики, записанной в нестационарной одномерной постановке

,

,

, (8.145)

.

Решение системы уравнений (8.145) осуществляется на сетке, представленной на рисунке 8.17а. Рассмотрим объемы с номерами I-1 и I. Если рассматривать процессы на границе i объемов I-1 и I I-1 и I в течение периода времени, соответствующее условию Куранта-Фридрихса-Леви ( ), то взаимодействие потоков газа, размещенных по обе стороны от границы i, можно рассматривать как взаимодействие двух потоков, размещенных по обе стороны от мембраны М (рисунок 8.19) в задаче о распаде произвольного разрыва газодинамических параметров в ударной трубе. Параметры на границе i объемов в течение времени от до определяются как параметры на контактном разрыве и могут быть вычислены по алгоритму (8.127)…(8.144)).

С учетом выше записанного явная конечно-разностная схема расчета параметров в объеме с номером I по методу С.К. Годунова может быть записана следующим образом

,

, (8.146)

.

Алгоритм решения методом С.К. Годунова задачи в пространственной постановке остается аналогичным приведенному выше. На первом этапе вычисляются значения газодинамических параметров на всех границах контрольного объема. При этом вариант распада разрыва устанавливается по значениям давлений в смежных с границей объемах и по значениям нормальных к границе составляющим скорости газа. На втором этапе решаются уравнения вида (8.146), с тем лишь отличием, что в этих уравнениях содержатся производные по всем пространственным координатам.