8.4. Методы контрольных объемов

8.4.1. Общие представления о методах контрольных объемах

К методам контрольных объемов может быть отнесено большое количество разностных схем, использующихся для решения задач физики. Следует сразу оговориться, что такое название рассматриваемой группы методов не является общепринятым, тем не менее, способы дискретизации уравнений у этих методов схожи. В частности, к методам контрольных объемов можно отнести, так называемые, интегро-интерполяционные методы, развитые в работах академика А.А. Самарского и его научной школы [Самар,СамарПопов, СамарАндреев]. Патанкаром С.В. и Сполдингом Д.Б. развиваются методы, именуемые конечно-объемными [Патанк]. Консервативные методы потоков (потоковые методы) развиваются академиком Белоцерковским О.М. и его научной школой [Белоц,Белоц,Давыд]. В то же время, к консервативным методам потоков можно отнести и широко распространенный в России и в других странах метод С.К. Годунова [Численное] и его многочисленные модификации (например, [Куликовский, Киреев]).

Отметим общие моменты, встречающиеся в различных методах, которые мы относим к методам контрольных объемов.

1. Применение разнесенных сеток – вычисляемые переменные определяются как в центрах элементарных объемов, так и на их границах. На рисунке 8.17 представлены элементы вычислительной сетки (одномерный вариант – рисунок 8.17а, двухмерный случай - рисунок 8.17б). Большими буквами I, J на этих рисунках пронумерованы элементарные объемы, а малыми буквами i, j – пронумерованы границы элементарных объемов.

Для выделенных контрольных объемов устанавливаются значения параметров, отнесенные к центрам выделенных объемов (для уравнений газовой динамики – это плотность, удельная энергия, вектор скорости и т.п.), к их границам (значения тех же параметров, если они необходимы). Кроме того, устанавливаются значения параметров, которые необходимы при аппроксимации дифференциальных уравнений, записанных в интегральной форме. В частности, для уравнений газовой динамики это могут быть масса контрольного объема, его энергия, значения вектора количества движения и т.д.;

2. Рассматриваемая группа методов относится к консервативным конечно-разностным схемам. Параметры, отнесенные к центру контрольного объема, устанавливаются на основе баланса потоков, поступающих в объем по всем его границам и с учетом источников, содержащихся в объеме. Если речь идет о решении задач газовой динамики, то необходимо на каждом шаге по времени обеспечить выполнение законов сохранения массы, количества движения и энергии для всех контрольных объемов. При решении уравнения теплопроводности необходимо обеспечить баланс тепла для каждого объема в произвольный момент времени.

3. В рассматриваемой группе методов при решении уравнений, например, вида

вместо процедуры численного дифференцирования применяется численное интегрирование по пространственной координате. Фактически, аппроксимируется уравнение

;

4. При определении параметров на границе контрольных объемов используются известные решения математических или физических задач. При этом линейная интерполяция значений параметров, вычисленных в центрах объемов, на их границы, как правило, не используется.

Ниже рассматриваются некоторые из методов, удовлетворяющие перечисленным признакам. О других методах можно найти информацию, например, в [Андерсон, Флетчер].