Глава 8. Методы численного анализа моделей с дифференциальными уравнениями в частных производных

8.1. Классификация уравнений математической физики

Дифференциальные уравнения в частных производных являются одними из наиболее трудных для решения в задачах вычислительной математики. Тем не менее, доля таких задач в инженерных приложениях велика. К дифференциальным уравнениям в частных производных сводятся задачи механики сплошных сред (гидро- и газодинамики, механики деформируемого тела), термодинамики и теплопередачи. В частных производных могут быть представлены искусственно построенные математические модели (феноменологические модели, модели задач математического программирования и т.п.).

Уравнения и системы уравнений в частных производных весьма разнообразны, а их свойства могут заметно изменяться даже при, казалось бы, несущественном изменении записи уравнений. Наиболее принципиальные свойства уравнений в частных производных устанавливаются типом этих уравнений.

Рассмотрим уравнение, в котором функция f зависит от двух аргументов -

. (8.1)

В уравнении (8.1) коэффициенты могут принимать произвольные значения, а - произвольная алгебраическая функция от аргументов . В частном случае значение этой функции может быть нулевым при любых значениях ( ). В соответствии с теорией уравнений математической физики (например, [Годунов, Корн]) тип уравнения (8.1) может быть установлен по значению параметра . Если значение D положительно ( ), то уравнение (8.1) относится к гиперболическому типу. Уравнение относится к параболическому типу, если . При уравнение (8.1) относится к эллиптическому типу. Более сложные уравнения в частных производных (при числе аргументов более двух) по своим свойствам тоже могут быть отнесены к перечисленным трем типам.

Рассмотрим частные случаи уравнений в частных производных, использующихся в механике сплошных сред.

1. Уравнение переноса

. (8.2)

Уравнение переноса относится к гиперболическому типу. Подобные уравнения могут быть получены, например, в задачах газовой динамики. В этом случае коэффициенты - скорости переноса субстанции (массы, количества движения, энергии) вдоль координат .

2. Волновое уравнение

. (8.3)

Волновое уравнение относится к гиперболическому типу. Уравнение может использоваться при решении задач акустики для исследования процессов распространения звуковых волн. В задачах акустики c – скорость звука.

3. Уравнение диффузии

. (8.4)

Уравнение диффузии относится к параболическому типу. Уравнение встречается в задачах о движении смеси газов. Подобный вид имеет также уравнение диффузии тепла, называемое уравнением теплопроводности.

4. Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона

,

. (8.5)

Уравнения Лапласа и Пуассона относятся к уравнениям эллиптического типа. Особенности этого класса уравнений позволяют построить решение задачи в любой точке внутри расчетной области по значениям функции f, заданным на ее границах.

5. Бигармоническое уравнение

. (8.6)

Бигармоническое уравнение относится к эллиптическому типу уравнений. Это уравнение встречается при решении задач механики деформируемого твердого тела. В частности, подобное уравнение используется для определения деформации пластины, подвергающейся силовому воздействию .

6. Уравнения Эйлера для задачи газовой динамики

,

,

, (8.7)

.

Система уравнений нестационарного течения идеального газа в одномерной пространственной постановке, записанная выше, относится к гиперболическому типу. Можно показать, что эта система уравнений может быть приведена к виду уравнений переноса (уравнения (8.2)).

Уравнения и системы уравнений в частных производных могут быть решены лишь при задании начальных и граничных условий. При задании начальных условий полагается известным распределение функции в момент времени , соответствующий началу интегрирования задачи. В частном случае может быть принято, что . Постановка граничных (или краевых) условий предполагает задание значений функции на границах расчетной области для любого момента времени t. Следует заметить, что даже при задании начальных и граничных условий системы дифференциальных уравнений в частных производных не всегда имеют решение или имеют неединственное решение. Постановка граничных условий для уравнений, относящихся к различным типам (гиперболическому, параболическому, эллиптическому), вообще говоря, имеет существенные отличия [Годунов,Рождеств].

В отдельных случаях уравнения в частных производных имеют аналитические решения. В качестве примера приведем задачу о нестационарном прогреве материала, рассматриваемой в одномерной постановке (материал полубесконечный, ):

• уравнение теплопроводности

; (8.8)

• начальные условия (соответствует моменту времени )

;

- граничные условия (соответствуют координате )

, соответствуют координате ;

, при .

Общее решение уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях может быть записано в следующем виде [Годунов,Кузьмин,ХимГидр]

. (8.9)

Для практических целей решение уравнения теплопроводности в записанном аналитическом виде оказывается неудобным, а потому используется очень редко. Известные аналитические решения других дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в частных производных имеют тот же недостаток. В связи с этим в последние годы стремительно развиваются численные методы решения уравнений в частных производных, ориентированные на применение вычислительной техники.